串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。
1 1
答：n个刚度为k的弹簧串联，等效刚度- 丄；n个刚度为k的弹簧
n
i
i
keq 7 ki
n
并联的等效刚度为keq =送ki ；并联弹簧的刚度较各组成弹簧“硬”，串联弹簧较 其任何一个组成弹“簧软”。
确定弹性元件是串联还是并联的方法：若弹性元件是共位移一一端部位移相 等，则为并联关系；若弹性元件是共力一一受力相等，则为串联关系。
2. 非粘性阻尼包括哪几种？它们的计算公式分别是什么？
答:非粘性阻尼包括：
(1) 库仑阻尼计算公式Fe=-»mgsgn；］,其中，sgn为符号函数，这里 定义为sgn (x)=爭)，须注意，当x(t)=O时，库仑阻尼力是不定的，它取决
x(t) 于合外力的大小，而方向与之相反;
(2) 流体阻尼计算公式：是当物体以较大速度在粘性较小的流体 (如空气、 液体)中运动是，由流体介质所产生的阻尼，计算公式为
Fn二-吋 x sgn x ；
2
(3)
料内部摩擦所产生的阻尼，计算公式为 结构阻尼：由材也Es=o(X
单自由度振 幅、
3.
无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、 初相角的计算公式分别是什么?
答：单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程
mx^kxt =0 ；
自然频率:
2
X。
7
初相角： :二 arcran 。
Vo
0 n x0
4. 对于单自由度无阻尼系统自由振动， 确定自然频率的方法有哪几种？具体 过程
是什么？
答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法：
（1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据静变形 的关系就可以确定出固有频率具体如下：
k6t=mg，又⑷n =，将这两个式
（2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。
A:用能量法确定运动微分方程，然后根据运动微分方程来求自然频率。无 阻尼系统
满足能量守恒定律，因此有
d
T V =常数，对该式进行求导可得
dE = T・V；=0根据此式即可导出运动微分方程，其中 T为质的动能，V为 dt dt 弹簧的势能。
B：用能量法直接确定固有频率：其原理是依据系统在任意时刻的能量和 （势 能，动
能和）相等，因此取两个特殊时刻静平衡位置（动能达到最大值
T
max
）和 最
大位移处（势能达到最大Vmax），可得Tmax=Vmax该方法不用导出系统运动微分 方程，因此对于复杂系统非常有效。
C：用能量法计算弹簧的等效质量，该方法利用弹簧的分布质量对系统振动
频率的影响加以估计，从而得出较准确的频率值。
\\ .：—— '其中m'为弹
k
Y m+ m 3
簧的质量。
5. 对于单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是什么？对无阻尼、 小阻
尼、过阻尼、临界阻尼的情况分别加以介绍。对于小阻尼情况，其阻尼自然 频率、振幅、初相角的计算公式是什么？
答：单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是 m x t cx t kx t =0 或 x t 2 xt
n
2n
xt =0。
无阻尼： =0，此时运动微分方程的特征方程的特征根为虚数，此时系统
1
运动微分方程的解为：xt二Xcos「n-：其中，X、「由初始条件确定此时特征 根在复平面
:
虚轴上，且处于原点对称的位置，此时， xt为等幅振动。
小阻尼：（0＜上＜1），此时运动微分方程的解为：x（t ）= Xe$t coS^dt-申）， 其中•・d fl - 2，n为有阻尼自然
系统的特征根为共轭复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称 的位置上;
有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减，阻尼率 越大，振幅衰减的越快；
特征根的虚部的取值决定了自由振动的频率， 阻尼系统的自然频率完全有系 统本身的特性决定。初始条件 Xo与V。只影响有阻尼自由振动的初始幅值与初相 角。
过阻尼：（；1）xt =X!e X2e，式中，X!、X?为由初始条件确定的 常数，特征根为
Slt
S2t
负实数，位于复平面的实轴上这时系统不产生振动很快就趋* 衡位置。
临界阻尼（© =1），此时系统微分方程的解为：x（t ）=e^ A。+（v。+%x° Jt】 临界阻尼c = 2 .. mk，临界阻尼率 =c c
0
0
6. 对数衰减率的定义是什么？如何运用对数衰减率计算阻尼率？
答：对数衰减率：=1 nA -1 n A?二「n亠=2 。其中A、A?为间隔j 个周期T的振动位移的两个峰值，利用测得的峰值按公式=-ln 红 可以
j Mt： + jT ）
求得：，然后利用公式•- --------- ---- ，当阻尼率 很小时：「：： 1，与4二相比
2
P42 + 62
2
可以略去，故•的近似计算公式为 =' 0
2兀
7. 对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动， 其振幅和相位差的计算公 式是
什么？放大系数的定义是什么？幅频特性的定义是什么？幅频特性曲线的 特性有哪些？幅频特性的极大值点和极大值是什么？
答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动: 振幅X
相位差:
=arcta n
2飞；.-；n
放大系数的定义：振幅X与激励的幅值A成比例，即X二H A， H ■
( (
是无量纲的,
1
，H ® )表示动态振动的振幅 X
较静态位移A放大的倍数，称为放大系数
幅频特性: H® D与振幅X之间仅差一个常数
I
A，因此，H®审描述了振幅
与激励频率⑷之间的函数关系，故又称 H血)为系统的幅频特性。
T
幅频特性曲线的特性：
(1) 当⑷=0时，H包卜1,表明所有曲线从|H佃卜1开始。当激励频率 很低，即⑷《叫时，H (列)接近于1,说明低频激励时的振动幅值 接近于静态位移。这时的动态效应很小，强迫振动这一动态过程可
以近似地用静变形过程来描述，*「• n1的这一频率范围又被称为 “准静态区”或“刚度区”。在这一区域内，振动系统的特性主要是 弹性元件的作用结果。
(2) 当激励频率国很高砒豹n »1时，H (国)<1，且唧⑷nT°O时，
HQj)T0，说明在高频率激励下，由于惯性的影响，系统来不及 对高频做出响
应，因而振幅很小。因此，称为“惯性区”，这一区域 内，振动系统的特性主要是质量元件作用的结果。
(3) 在激励频率与固有频率相近的范围内，|H血，曲线出现峰值，说明此 时动态效应很大，振动幅值高出静态位移许多倍，当阻尼率较大时，
3
I
H佃）峰值较低，反之H©审的峰值较高。因此，这一频率范围又被
称为“阻尼区”这一区域内振动系统的特性主要是阻尼元件作用的 结果，在此区域中，增大系统的阻尼对振动有很强的抑制效果。
（4） 共振不发生在-'n处，而是发生在略低于-'n处，Hlf 的峰值点随•的 增大而向低
频方向移动。当阻尼系数 <0.707时，系统不会出现共振， 且动态位移比静态位移小。
（5） 当E =0时，共振频率⑷r等于自然频率⑷n此时H （灼心旳即振幅无穷 大，这
种情况下，共振振幅将随时间按线性关系增长。
-------- 1
复频特性的极大值点：C0r=^n*'1-2E2，极大值：H（COrb= ------------- ”
2匕7^ 8•品质因数、半功率点、半功率带宽的定义是什么？如何运用半功率带宽计
算系统的阻尼率？
。
1
答：品质因数：Q = HCOn生飞；
复频特性曲线中，在峰值两边，H（⑷”等于Q2的频率，国、⑷称为半功 率
1
2
点，」与「2之间的频率范围「2 -'纠称为半功率带宽。
运用半功率带宽计算系统的阻尼率：利用|H血P等于Q,人迈构建等式，结合 半功率点，半功率带宽的性质，化简后可得
二一匚丄。通过激振实验得到
2叫
H®，曲线，然后找出共振频率 码=叫和半功率带宽3 2-叫）带入上式即可求 出阻尼率。
9.
统的强迫振动，
对于谐波激励下单自由度线性系相频特性的特点是什么？
Nyquist图的特点是什么？
答：相频特性的特点：
（1）当」=0时，，0 =0,即所有曲线从「0 =0开始。当激励频率••很低
4
时，‘「n取值很小，―，接近于0,说明低频激励时振动位移X t与激励f t之 间几乎是同相；
（2） 当■■ . . 时门广，即Xt与ft的相位相反；
（3） 当；.-：：:n时，':十：1 ■■: 2，这正是“阻尼区的特点。
Nyquist图的特点：
（1） 面；
的变化范围为0~二，所以单自由度系统的Nyquist图位于复平面 的下半平
（2） 随着阻尼率•的增大，Nyquist曲线的“环”变小；
（3）在共振区域附近，H© D取值很大，恤）变化剧烈，故在Nyquist图
I
上，共振区域的描述更加清楚，而非共振区域则“缩”得很小，显然，这对于分 析研究共振区域附近的特性是方便的。
10. 对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，库仑阻尼、流体阻尼、 结构阻尼
的等效阻尼系数的计算公式是什么？
答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动 库伦阻尼:
4」mg
流体阻尼:
Ceq =电蜩X ；结构阻尼:
11. 如何运用Fourier级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析？其
幅频响应、放大系数和相位差分别是什么？
答：运用Fourier级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析的方法： 将周期激励分解为基波及其高次谐波的组合，再将对这些谐波的响应进行叠 加这就是
Fourier级数分析法。基本步骤：将周期激励函数 f t展开为Fourier级
数，然后根据叠加原理对基波和高次谐波的响应进行叠加：
x（t}=2： XpOHZ Xpe^ =S H（p叫）％eip卿=迟 |H（p% 傀』画5）=迟 X
p d p d p zi p A
p d
5
复频响应:
6
放大系数:
H p o =
1
7
——J ;式中，•‘是单自由度系统的自然
相位差：':p p = arctan
0
1-(pCDo/COn )
频率。
12. 如何运用脉冲响应函数法对非周期激励下的强迫振动响应进行分析？运 用该方法，当
系统还受到初始激励的作用时，单自由度系统的全部响应是什么? 脉冲响应函数法与Fourier变换法之间的关系是什么？
答：(1)运用脉冲响应函数法对非周期激励下的强迫振动响应进行分析：
基本思路是将激励ft分解为一系列强度为f . 的脉冲，先求得系统对 每一脉冲单独激励的响应，再根据叠加原理对这一系列脉冲响应进行叠加。 从而 得到系统对整个激励f t的响应xt。
(2) 当系统还受到初始激励的作用时，单自由度系统的全部响应是：
x(t )= — ［ F(E e_ w^_Tfeincod(t
(3) 两种方法的关系：
M + r_X^^eFt coStdd _半上sincodt
脉冲响应函数法与Fourier变换法是解决同一问题(非周期激励下的强迫振 动)的两种不同的方法，从物理意义上看，器根本不同在于对于非周期函数f(t)
进行分解的方式不同：Fourie变换法是将f (t)分解为一系列的谐波，而脉冲响 应函数法则是将
f( t)分解为一系列脉冲，不过这两种方法的基础都是叠加原理。
从数学处理方法上看Fourier，变换法是求得f (t)的Fourier变换FQ ］，再在频 域中由复频响应函数与的成绩而求得响应的频谱函数 X，，
X • - F H •■，最后再求XF：］的Fourier逆变换而得到响应xt。脉冲 响应函数法则是直
接在时间域中求激励函数 f( t)与系统的单位脉冲响应函数h t 的卷积而得到xt o
13. 冲击的定义是什么？冲击的特点是什么？系统对半正弦脉冲冲击的响应 分为几个阶
段？每个阶段响应的表达式是什么？每个阶段的响应的最大峰值是
7
什么?
答：系统受到瞬态激励，器位移、速度、加速度突然发生变化的现象，称为 冲击。冲击的特点是：冲击作用时，系统之间传递动能的时间远较系统振动的周 期短。
系统对正弦脉冲冲击响应分为两个阶段：载荷作用阶段和载荷拆除后的自由 振动阶段
(1) 载荷作用阶段的响应表达式为 0 ：：： t ：：：二•：
Po m
0
t
osin tsin n t - d □
P
o
sin cot - z sincot ，
n
k
叫 丿
最大峰值为：
(2) 载荷拆除后的响应表达式:
x t = x
最大峰值：
xmax
cos .nt ———si n ・nt 其中 t 二「，，
«n
2Po 'n ■'
k1 -P 丫 】 二 cos
14. 对于两自由度无阻尼系统的自由振动，频率方程是什么？两个自然频率 是什
么？在每个自然频率下的振幅比是什么？固有振型的定义是什么？自然模 态的定义是什么？两个同步解的具体形式是什么？响应通解的表达式是什么？ 答：两自由度无阻尼系统的自由振动频率方程：
4
d ad _ be =0，
2
两个自然频率即是频率方程的两个根--1， - '2 :
斜 = ^(a +d )+丄 J(a +d f —4(ad —be)。 2 2
22
在两自然频率下的振幅：不能完全确定振幅 U1，U2，只能确定它们的比值
S . U2 ：
U2
1
U2 uf)
a - 2 c b
d -化2 '
固有振型定义：当系统已频率-或* ‘2做同步简谐运动时，具有确定比值的
一对常数Ui、U2或Ui、U2可以确定系统的振动形态，称之为固有振型, 可用向量形式表
1
1
2
2
8
示为:
2
该式中u 1 \\ \"u ?称为系统的模态向量，每一个模态向量和相应的自然频 率构成系统的一个自然模态。两个同步解的具体形式为：
xF）= u』C cogjt -陷），
1
x2C h )= u1C rC
i
1-久)；
x£ & )=5* C2cosa2t-®2 ), x2f Qt ）= u」 >C cogt—® ）。
2
2
2
2
2
响应通解的表达式：
%（t ）=Cj coS^^t —巴）+C coS国t —® ）［ x t = C r cos 壮
2
2
2
2
1
1
仝］ Cr cos t -：「
22
2
2
:
15. 弹性耦合和惯性耦合的定义分别是什么？自然坐标的定义是什么？对于
两自由度系统的振动，坐标变换矩阵的表达式是什么？
答：（1）弹性耦合定义：研究系统运动微分方程的矩阵形式，当其中的刚度 矩阵是非对角矩阵，则称这种耦合方式为弹性耦合；
惯性耦合的定义：研究系统运动微分方程的矩阵形式，当其中的质量矩阵是 非对角矩阵，则称这种耦合方式为惯性耦合。
（2）自然坐标的定义：是在对描述系统运动方程 的通解时提出的，引入自然坐标 则系统运动方程的通解可写作
9
（3）两自由度系统的振动，坐标变换矩阵的表达式是： L】=『
1
〔「1 「2 一
16. 什么叫拍击现象？对于双摆系统而言，运动微分方程的通解表达式是什 么？拍
频和拍的周期定义是什么？
答：（1）当两自由度系统的两个自然频率很接近是， 低的频率周期变化的现象，即所谓拍击现象。
（2） 运动微分方程的通解： 当冃0 - ^20 - 6，二 10 - 当哥 -厲，二20
0
将会出现振幅以一种很
=0
时，刊- ®COS「1t，二 2 - VoCOSrt
- -- 0
，二 10
- T20
= 0 时，二
1
- v0
cos t，二2 - % COS ■ t
2
2
当二 -厲，二 20 - V10 -『20 =0 时，
10
k 2
（3） ------------------------------- 拍频的定义：△⑷=国 -叫俺 ，拍的周期：T =叹 。
mJgL 心
2
2
2
17. 对于两自由度系统在谐波激励下的强迫振动，系统响应幅值的表达式是 什么？
对于无阻尼系统而言，系统响应幅值的表达式是什么？
答：（1）两自由度系统在谐波激励下的强迫振动系统响应幅值表达式： 其中：
if
= k
1■ m
1
0
ic c ，
1
2C2
if
Z21 = Z12 = _k2
- i
，
2 ,
z
22
= k k - ■ m i ■ c c 。
3
2
2
2
3
（2）无阻尼时系统响应的幅值表达式： 其中：
匕+k a 二
2k2 k2 k3 k2
m2
m-i
m-i
m2
18. 广义坐标的概念是什么？对于多自由度系统而言，刚度系数、阻尼系数、 质量
系数的定义是什么？弹簧-质量-阻尼系统的规律是什么？
答：（1）振动理论中，把能够完备的描述系统运动的一组独立参变量成为系 统的广义坐标（“完备”是指能完全确定系统在任一时刻的位置或形状；
“独立
10
是指各个坐标都能在一定范围内任意取值期间不存在函数关系）
（2）刚度系数 :
kj
只在坐标j上产生单位位移（其他坐标上的位移为零）而在
q
qj
上需要加的
qj 4
力;
qr =0 r
土2,…n,r=_j
阻尼系数j :
C
只在坐标上有单位速度（其他坐标上的速度为零）时在坐标
qj5上所需施
qj 4
加的力；（
质量系数 :
mj
cij = Qi qr =0 r =1,2/ - n,r -j
只在坐标5上有单位加速度（而其他坐标上的加速度为零）时在坐标
q j
qj
qr =0 r 土2，…n,r
所需施加的力
（3）弹簧-质量-阻尼系统的规律:
A •刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素 （或 ）为联结在质量5上 的所有弹簧
kii
Cii
刚度（或阻尼系数）的和；
B •刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素 （或 ）为直接联结在质量
kj
Cj
mi
与之间的弹簧刚度（或阻尼系数），取负值;
mj
C •一般而言，冈H度矩阵和阻尼矩阵都是对称矩阵；
D •如果将系统质心作为坐标原点，则质量矩阵是对角矩阵，但一般情况下 质量矩阵
并不一定是对角的。
19. 对于n自由度无阻尼系统的自由振动，运动微分方程是什么？频率方程 是什
么？系统自由振动响应的通解是什么？
答：（1） n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程: 频率方程：
系统自由振动相应的通解:
二治 =耐-，m = 0
2
2
ij
20. 对于n自由度有阻尼系统的自由振动，运动微分方程是什么？对该方程
解耦的方法是什么？具体分析说明
答：(1)对于n自由度有阻尼系统的自由振动运动微分方程： (2)解耦方法：
11
采用自然坐标，并在两端左乘 UT，( 1)中的运动微分方程变为:
然后利用
)V m!ud=O (r,s = 1,2,…,n;r h s),
和 S 尹 klu( ”=0(r,s = 1,2,…,n;r ^s)
r
带入上式，得：
0 1
+
小(t)}+ bln(t»+
灼r2
M(t》={o}，可以看出质量矩阵与刚
° 一
度矩阵均已对角化，但阻尼矩阵：匕丄u ciui一般不对角，需要对角化。可以 利用一些
T
近似的方法将C】矩阵对角化。
A• 如果在原来坐标中的阻尼矩阵 C可以近似地表示为质量矩阵与刚
度矩阵的线性组合，即c」〉k 1，其中/是大于或等于零的 常数，在这种特殊情况下，坐标转换到自然坐标后，对应的阻尼矩 阵C 1也将是个对角矩阵。
B. 工程中的大多数机械振动系统中，阻尼都是非常小的，在这种情况 下，虽然C 1不是对角的仍可以用一个对角矩阵形式的阻尼矩阵近似 代替
C1， 最简单的做法是将C1的非对角元素改为零。
12
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