频激励下干摩擦阻尼叶片的共振响应

多频激励下干摩擦阻尼叶片的共振响应

姓名：孙艳红申请学位级别：硕士专业：一般力学与力学基础

指导教师：丁千20040101

中文摘要叶片事故的统计分析表明，叶片损坏大多数是由于叶片振动产生的动应力过大所致。为了降低叶片的振动应力，汽轮机厂家越来越多地采用带有阻尼围带或凸肩的叶片结构，即阻尼叶片。阻尼叶片通过围带或凸肩间的相互干摩擦来消耗叶片能量，起到减振的作用。本文对干摩擦阻尼叶片多谐波激振Ⅱ向应进行分析研究，主要工作分为以下几个方面：第一部分：叶片阻尼机理和激振力的介绍分析介绍分析了各种阻尼产生的机理，以及相应的模型，特别是对界面摩擦阻尼的机理及其数学模型进行了较为详细的探讨。对摩擦面间正压力变化时摩擦力进行分析。激振力研究是阻尼叶片动力特性研究的一个重要组成部分。在激振力的各阶谐波分量中，影响叶片安全运行的激振力仅是接近叶片自振频率的分量，本文考虑第一阶、第二阶和第Ｚ阶谐波分量对叶片动力特性的影响。第二部分：叶片单自由度和两自由度模型分析首先，建立叶片单自由度模型，利用平均法求解叶片的运动方程，研究一阶和二阶主共振情况下幅频响应曲线，分析各个主要系统参数对频响曲线的影响规律。然后，考虑弯曲和扭转耦合情况下的叶片模型，建立两自由度的叶片运动方程，应用谐波平衡法得出运动方程的周期解，分析一、二阶主共振情况下系统参数对频响曲线的影响，并与数值解进行比、较验证解析解的准确性。最后对全文进行总结。本文研究得出，增加叶片的界面摩擦阻尼是一种非常有效的叶片减振方法。由于界面干摩擦的介入，使得阻尼叶片具有非线性的动力特性。与线性动力系统不同，阻尼叶片的频率不再是它的固有特性，其频率受外界激振力的影响。本文对阻尼器接触端正压力、汽流激振力、摩擦晃面的剪切刚度、摩擦系数等参数对叶片动力特性的影响进行了理论、计算和设计应用的研究。关键词：汽轮机阻尼叶片多频激励共振弯扭耦合ＡＢＳＴＲＡＣＴＯｎｅｏｆｔｈｅｃｏｍｍｏｎｓｔｒｕｃｔｕ删ｆａｉｌｕｒｅｏｆｂｌａｄｅｓｉｓｄｕｅｔｏｅｘｃｅｓｓｉｖｅｓｔｒｅｓｓｅｓｃａｕｓｅｄｂｙｌａｒｇｅａｍｐｌｉｔｕｄｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ．Ｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｖｉｂｒａｔｏｒｙｓｔｒｅｓｓｏｆｂｌａｄｅｓ，ｔｈｅｄａｍｐｅｄｂｌａｄｅｓｗｉｔｈｉｎｔｅｇｒａｌｗｉｒｅｏｒｓｈｒｏｕｄａｒｅｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｂｙｔｕｒｂｉｎｅｗｏｒｋｓ．Ａｓｔｈｅｖｉｂｒａｔｏｒｙｅｎｅｒｇｙｉｓｄｉｓｓｉｐａｔｅｄｂｙｔｈｅｄｒｙｆｒｉｃｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｄａｍｐｅｒｓ．ｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｂｌａｄｅｓｉｓｒｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｄｒｙｆｒｉｃｔｉｏｎｄａｍｐｅｄｂｌａｄｅｓｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄｂｙｔｈｅｍｕｌｔｉ－ｈａｒｍｏｎｉｃｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓｗｉｌｌｂｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｐａｒｔｏｎｅ，ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｄａｍｐｅｄｍｅｃｈａｎｉｓｍａｎｄｔｈｅｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｆｏｒｃｅｏｆｔｕｒｂｉｎｅｂｌａｄｅｓ．Ｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍａｎｄｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｍｏｄｅｌｓ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｔｈｅｉｎｔｅｒｆａｃｅｆｒｉｃｔｉｏｎ，ｏｆｍａｎｙｋｉｎｄｓｏｆｄａｍｐｅｒｓａｒｃｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｎｄａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃａｌｆｒｉｃｔｉｏｎｆｏｒｃｅｍｏｄｅｌｗｉｔｌｌｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｎｏｒｍａｌｐｒｅｓｓｕｒｅｂｅｔｗｅｅｎｆｒｉｃｔｉｏｎｓｕｒｆａｃｅｓｗｉｌｌｂｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｆｏｒｃｅｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｍｏｓｔｉｍｐｏｒｔａｎｔｅｌｅｍｅｎｔｓｆｏｒｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｄｙｎａｍｉｃｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｄａｍｐｅｄｂｌａｄｅｓ．Ａｍｏｎｇｖａｒｉｏｕｓ－ｏｒｄｅｒｈａｒｍｏｎｉｃｓ，ｔｈｅｈａｒｍｏｎｉｃｃｏｍｐｏｎｅｎｔ，ｗｈｉｃｈａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｈｅｎａｔｕｒａｌ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｏｆｂｌａｄｅ，ｃａｎｈａｖｅｔｈｅｍａｉｎｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｎｔｈｅｓａｆｅｔｙｏｆｔｈｅｂｌａｄｅｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔ．ｓｅｃｏｎｄａｎｄＺ－ｏｒｄｅｒｈａｒｍｏｎｉｃｓａｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｏｆｂｌａｄｅｓ．Ｐａｒｔｔｗｏ，ｄｙｎａｍｉｃｓｏｆｔｈｅｏｎｅ—ａｎｄｔｗｏ－ｄｏｆｍｏｄｅｌｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｏｎｅ—ｄｏｆｂｌａｄｅｍｏｄｅｌｉｓｓｔｕｄｉｅｄｂｙｔｈｅａｖｅｒａｇｅｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅａｖｅｒａｇｅｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ，ａｎｄｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｕｒｖｅｓｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔａｎｄｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒｒｅｓｏｎａｎｃｅｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．１１１ｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｎｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｕｒｖｅｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔａｋｉｎｇｉｎｔｏａｃｃｏｕｎｔｔｈｅｃｏｕｐｌｉｎｇｏｆｆｌｅｘｉｏｎ．ｔｏｒｓｉｏｎ．ｔｈｅｔｗｏ．ｄｏｆｂｌａｄｅｍｏｄｅｌｉＳｓｔｕｄｉｅｄｂｙｔｈｅｈａｒｍｏｎｉｃｂａｌａｎｃｅｍｅｔｈｏｄｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｎｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｕｒｖｅｓｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔａｎｄｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒｒｅｓｏｎａｎｃｅｓａｒｃｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．。Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｒｅｕｓｅｄｔｏｐｒｏｖｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｅｓ．１１１ｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｄｒｙｆｒｉｃｔｉｏｎｉｎｂｌａｄｅｓｐｌａｙｓａｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｒｅｄｕｃｉｎｇｖｉｂｒａｔｉｏｎａｍｐｌｉｔｕｄｅｏｆｔｈｅｂｌａｄｅｓ．ＴｈｅｎｏｒｍａｌｆｏｒｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｒｕｂｂｉｎｇＣａｎｉｎｆｌｕｅｎｃｅｔｈｅｄａｍｐｉｎｇｅｆｆｅｃｔｏｆｂｌａｄｅｊ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｔｕｄｙｗｅｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｒｅａｎｏｐｔｉｍｕｍｖａｌｕｅｆｏｒｔｈｅｎｏｒｍａｌｆｏｒｃｅ，ｕｎｄｅｒｗｈｉｃｈｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｂｌａｄｅｓｅａｒｌｂｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｄａｍｐｅｄｂｌａｄｅｓｉｓａｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ．ＳＯｉｔｓｎａｔｕｒａｌＣａｎｂｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄｂｙｅｘｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｓｈｅａｒｓｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆｓｕｒｆａｃｅｓ，ｔｈｅｐｌａｃｅｏｆｔｈｅｄａｍｐｅｒｏｎｔｈｅｂｌａｄｅｓ，ａｎｄｔｈｅｆｒｉｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｂｌａｄｅｓａｒｅａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ｗｏｒｄｓ：Ｔｕｒｂｉｎｅ，Ｄａｍｐｅｄｂｌａｄｅ，Ｍｕｌｔｉ—ｈａｒｍｏｎｉｃｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ，Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ，ｆｌｅｘｉｏｎ二ｔｏｒｓｉｏｎｃｏｕｐｌｉｎｇｉｎｓｕｒｆａｃｅｓｉｓｄａｍｐｅｄｆｒｅｑｕｅｎｃｙｒｕｂｂｉｎｇｄｙｎａｍｉｃＫｅｙ独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得基鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名：劫搏静＿Ｌ签字日期：２孵年ｆ月ｆ２日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解鑫洼盘茔有关保留、使用学位论文的规定。特授权盘注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：孙彩Ｌ导师签名／ＴＪ４ｌ签字日期：２ａ叶年ｆ月｝２日签字日期：妒哗年１月Ｊ２日第一章绪论绪论１．１课题背景及意义叶片是透平机械的心脏部件，因承受气流周期性扰动力作用而振动，加之复杂恶劣的工作环境，常常造成口ｆ片失效，如由叶片异常振动或承受共振应力带来的高周或低周疲劳引起的断裂。据统计，叶片事故占汽轮机事故的４０％。叶片是汽轮机的心脏，也是事故最多阿关键部件，它的安全可靠直接关系到汽轮机和整个电站的安全。由于电力是国民经济的命脉，而全世界约有７５％的电力来自火电站中的锅炉一汽轮机一发电机以及核电站中的核反应堆一汽轮机一发电机，因此提高汽轮机的叶片安全可靠性对于满足不断高涨的电力需求，适应国民经济的发展，有着不容忽视的作用。在石油、化工、轻工等重要经济部门中，采用工业汽轮机作为关键动力设备的现代大型企业日益增多，而由于汽轮机叶片损坏造成工厂全面停产、引起严重后果的实例，在国内外都不少见…。自１８８４年汽轮机诞生至今已经有一百多年，在这期间，汽轮机经历了巨大的变化。最为突出的是单机功率增长了１０万倍以上一一由不到１０ｋＷ发展到１３６万ｋｗ一～平均每６年就会翻一番。同时，蒸汽参数也由初压１ＭＰａ、初温２０００Ｃ左右，分别提高到最高达３４ＭＰａ、６０００Ｃ以上的水平，使热效率提高了３倍。这些成就的取得在很大程度上依赖于叶片的开发和研究。首先，单机功率的飞速增长，要求汽轮机通流能力相应提高。而流通能力又取决于叶片高度所构成的通流环形面积，因此，增加叶片高度是扩大单机功率的必由之路，成为各国汽轮机技术发展的共同方向，末级长叶片也就成为衡量汽轮机技术水平的主要标志。由于叶片高度和蒸汽参数的提高，叶片的工作条件也愈来愈严酷：在进气端的调节级叶片，要承受最高近６０００Ｃ的高温和喷嘴弧段的巨大冲击力：在排气端，则是巨大的离心力和接近两倍音速的湿蒸汽流的冲刷；而且所有动叶片都承受着多种形式的周期性或随机性激振力作用而处于强迫振动之中。这些不利条件使叶片成为汽轮机中影响安全的最主要的因素。据１９７０年前后英国、法国、原苏联等国的统计，汽轮机事故约有４５～７２％是叶片造成的…。美国和联邦德国的统计表明，叶片事故在汽轮机各部件中居首位，美国电力研究所ＥＰＲＩ．（ＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅ）指出，美国电站汽轮机强迫停运率的７０％与叶片损坏有关。各国统计还一致反映，叶片事故引起的损失往往占全部损失的一半左右【２１。：筮二童鳖堡．中国也不例外，根据研究机构对国产６ＭＷ和进口１０ＭＷ以上电站汽轮机的统计，从１９７３年到１９７７年这段时期，每年发生叶片事故的机组不下１００台次，电站汽轮机的叶片事故率最高可达１１％，其中进口机组的事故率还高于国产机组。对照国际上的最先进水平，这样的事故率是偏高的。从１９７８年开始，事故台数、事故台次、损坏的总级次以及事故率均有很明显的持续下降趋势。提高发电设备的安全性和可靠性有着巨大的直接经济效益和社会效益。特别在普遍供电紧张的情况下，备用容量小，叶片事故往往引起停机以致大面积停电，社会影响极大。ＥＰＲＩ的调查还表明，美国每年平均发生的４０余起重大叶片事故，平均每起的修理费用为２０万美元，因每次停机引起的替代能源耗费为２５０万美元，损失惨重。叶片损坏的原因是多方面的。例如、，从发生的机理分，６０～８０％的损坏原因是振动…；从责任范围分，可以归纳为设计制造、电站运行、外来原因、老化原因等。其中设计原因一般占８０％。目前世界上的汽轮机向大容量化、高速化发展，汽轮机的大容量化使得叶片需要比以往承受更大的汽流力、离心力和工作温度。受汽流力的激振，叶片容易因动应力过大而导致损坏。安全和高效是设计人员的目标，而叶片的安全性则被考虑放在首位。叶片设计者采用各种手段来降低叶片动应力，其主要措施是增强叶片的阻尼环节。．对产生阻尼的机理进行分析表明，叶片凸肩及平台处的干摩擦阻尼的减振效果最为突出。由于阻尼叶片良好的减振性，阻尼结构越来越多地应用于燃气及蒸汽轮机之中。阻尼叶片可以很有效地克服叶片动应力过大的情况，并可以起到调频作用。目前使用最多的阻尼结构是预扭围带结构和叶片凸肩结构。国内外各大汽轮机公司出现的具体结构比较多。如美国西屋公司的Ｚ—ｌｏｃｋ型，文献¨’阐述了此种阻尼结构对扭转恢复的抑制作用，并用计算软件ＮＡＳＴＲＡＮ对带此种阻尼件的叶片迸行了计算。计算结果表明“Ｚ－Ｌｏｃｋ”型阻尼减振器对叶片的扭转恢复有较好的抑制作用和良好的成组特性，并影响叶片的振动频率。此机构的特点是阻尼减振器的接触面基本是与轴向垂直的面。ＧＥＣ／ＡＬＳＴＨＯＭ公司的翅翼型与ｚ～ｌｏｃｋ型有所差别，此种阻尼连接件的相互接触面与轴向成一角度，接触面也较大，可以提供更为稳定的摩擦力ｎ理论和实验均表明依靠接触面间相互滑动产生摩擦来增加阻尼是一个极为有效的方法【４１。ＧＥ公司采用了一种套筒凸台连接形式的阻尼结构，这种结构形式通蔓二童缝堡。过叶片上的凸台和套筒连成整圈，安装时使叶片先预扭，正常运行时，就处于松连接的状态，用这种连接形式可以确保动叶在振动中有足够的阻尼，以利于改善动态特性＂３ＡＬＳＴＨＯＭ公司采用鳍片式阻尼结构形式，叶片在连接成组时凸面嵌入凹面内，连接件之间有两个交叉的斜接触面。振动时，阻尼减振器的接触面将产生切向与轴向的位移耦合，无论哪一个面接触，切向滑动都会导致轴向滑动，轴向和切向相对位移满足几何比例关系，径向的相对滑动相对独立，鳍片式阻尼结构对扭转恢复的抑制及减振效果都很好［６１。目立公司在其新设计的２６英寸末级叶片上采用了ｓ型复环成圈阻尼结构，这种结构是在末级叶片上整体铣出Ｓ型复环，叶片安装后，阻尼器的凸凹面相互嵌入，增加叶片间接触面积，并且采用整圈连接复环结构，提高了叶片的安全可靠性１７】。三菱重工在七十年代其开发的末级叶片中使用了Ｚ型阻尼连接技术，该结构与ＧＥＣ／ＡＬＳＴＨＯＭ公司的翅翼型结构相似，但是三菱公司的阻尼结构翅翼较瘦小，相互的接触面也较小。【６］介绍了此种结构，其形式是数片叶片焊接成组，然后叶片组之间通过有间隙的阻尼结构相连接。阻尼端在叶片静止时是相互不接触，运行时由于叶片扭转恢复的作用而相互接触，从而通过接触端之间的摩擦作用达到减振的目的，三菱公司做的实验表明，采用这种阻尼结构的减振器可以收到极为明显的减振效果。此外，三菱公司还用到另外一种整体围带式阻尼连接结构，此种结构在１８ｊ中有介绍，该结构是使叶片与叶片之间全部都用阻尼结构相连接，当叶片旋转时，在扭转恢复的作用下整圈的叶片产生相互的耦合。与传统的成组叶片相比，它提供了更多的阻尼环节，因而动应力大幅度下降，结构的可靠性得以显著提高。在一个实际尺寸的试验透平上迸行了实际负荷的实验，结果表明这种阻尼减振结构叶片的对数衰减率比一般成组叶片高５—１０倍，即使是在共振状态下其动应力水平也很低１９】。国内，哈尔滨汽轮机厂设计了自带围带预扭叶片，预扭原理与ＡＬＳＴＨＯＭ公司的预扭叶片原理相似。预扭围带采用平行四边形自带围带，因其具有良好的成组及阻尼作用，可使共振危险性大为减少，与铆接围带相比可使围带应力减少到原来的１／３１”｝。研究表明，此种围带有以下几个优点：１．能满足两种叶根（Ｔ型叶根及枞树型叶根形式）两个装配方向（切向和轴向）的要求；２．轴向连接刚性大，且随着节径数增加，频率升值快，对避开低节整二童堑鲨。——一径三重点共振有利（ＡＬＳＴＨＯＭ公司元宝山６００ＭＷ机组资料证明）；３．围带工作接触面大，对一定的挤紧力，摩损小，表面不必硬化；４．允许围带接触面存在局部间隙，便于拂配及预扭安装。这些都是叶片阻尼结构，当叶片旋转起来，离心力使叶片发生扭转恢复而使得相邻阻尼接触端相互贴合，形成摩擦面，起到减振的作用。近年来，在阻尼叶片方面的研究有很多进展，但大多只是针对某些方面，没有系统化，而且定量研究很少，计算也限于简单结构。文献…１用ＮＡＳＡ．Ｃ．Ｒ软件计算过单叶片和类似叶片的结构，结果与实验研究的结果相符，褥出关于阻尼件的几个关键参数：接触压力，接触表面粗糙度，外力水平，阻尼器位置，阻尼器刚度。１．２国内外阻尼叶片的研究现状阻尼叶片（在叶片顶部加工出整体围带、在叶型上加工出凸肩或装加松拉金）越来越多地被应用于燃气或蒸汽轮机。理论和实验研究证明。阻尼叶片可以有效地降低动应力及对叶片起调频作用。因此，深入研究阻尼叶片，探讨其各个关键参数对叶片动力特性的影响作用，以指导实际设计工作势在必行。国内外学者相继开始了对阻尼叶片的研究探索。１．２．１界面摩擦模型在摩擦模型的研究上，以Ｏｄｅｎ…１１为代表认为，两摩擦面间的摩擦过程是先经历一个弹性过渡区，然后再发生滑动，即摩擦面间的摩擦过程可以分成静止、弹性变形和滑动三个阶段，而不是一般库仑摩擦行为所定义的静止和滑动两状态。Ａ，Ｖ．ＳｒｉｎｉｖａｓａｎＩｌ３】发展了Ｏｄｅｎ模型，将滑动速度对摩擦力的影响也考虑进去。Ｃ．Ｈ．Ｍｅｎｑ［１４１在前人的基础上提出了微滑移模型，微滑移与宏滑移不同的是，它考虑了摩擦面各点处的摩擦行为的不同，比如在一定的受力情况下，可能是某些区域发生滑动，而另一部分静止。微滑移模型可以较好地模拟这样地情况。Ｃ．Ｈ．Ｉｄｅｎｑ【１５１提出了二维滑动的模型，对摩擦滑移的描述上又更进～步。１．２．２叶片建模从８０年左右，以Ｊ．Ｈ．Ｇｒｉｆｆｉｎ【Ｉ６］为代表的一些学者开始了对阻尼叶片动力特性的研究。他发展了摩擦力一位移迟滞模型，提出了弹簧、质量和阻尼器的阻尼叶片描述系统，得出了一些阻尼叶片的动力特性，讨论了阻尼端正压力对系统频率响应的影响，并不断提出新的研究成果。篁二童缝鲨一一——一ＶａｓｕｔｏｍｏＫＡＮＥＫＯ（１９９３）用多自由度质量、弹簧阻尼系统研究了阻尼叶片。国外学者大都采用单自由度或多自由度弹簧一质量阻尼系统。虽然这些解的物理概念比较清楚，但对解决工程实际问题略显欠缺。实际叶片几何形状复杂，目前较有效的工具方法是有限单元法。Ｓｒｉｎｉｖａｓａｎ【ｌ７１曾用有限元法计算过阻尼叶片，并与实验值进行了比较，得出了有益结论，但是结论的轮廓欠清晰，也没有说明具体的计算方法。国内任勇生１１８】研究阻尼叶片较早，提出了有限元方法研究思路，并认为阻尼叶片的非线性特性是一个局部非线性动力问题。１．２．３阻尼叶片的计算分析在计算分析上，ＮＡＹＦＥＨ［”】提出了谐波平衡法来分析非线性动力问题。谐波平衡法是比较理想的求解非线性动力方程的近似解法，在满足工程精度的前提下，计算速度快。为了提高计算精度Ｐｉｅｒｒｅ【２０】提出了增量多项谐波平衡法，Ｗａｎｇ［２１】提出了多项谐波平衡法。Ｃａｍｅｒｏｎ［２２Ｊ提出了用时域一频域交替算法，利用了在时域和频域解问题的各自优势，并给出了相应的算例（限于单自由度）。１．２．４阻尼叶片的设计‘在阻尼叶片设计方面，以Ｇｒｉｆｆｉｎ为代表的学者较系统地研究了阻尼叶片系统地一些非线性动力特性，得出了一些有益地结论。在此基础上，Ｋｉｅｌｂｌ２３】提出了阻尼叶片的一些设计思路，向工程实际迈进了一步。国内外对叶片阻尼器的研究有了一些结论，但是都处于比较抽象的理论探讨之中，真正实用性的研究还是很少，实验研究就更少一些。阻尼叶片已经在实际机组上运行，如何设计阻尼叶片，使其最有效地降低叶片地动应力，以及由于阻尼器的应用，它会给叶片的频率及阻尼特性带来什么样的影响，将是迫切需要解决的问题。要全面研究阻尼叶片，叶片汽流激振力的研究也是～个必不可少的研究环节。阻尼叶片的非线性动力特性与外部激振力有密切的关系，而叶片激振力的研究是一个很棘手的研究课题。一个新的实际工程问题的出现总是需要理论和实验研究的进步，也是促进理论和实验研究的进步，对于阻尼叶片的研究也是如此。因为理论研究在建立模型时，总是将一些因素简化或是忽略，这必然给理论分析带来误差，而且在对问题还不是很清楚之前，建立的模型可能忽略了～些重要因素，而使得理论分析失败。实验研究可以避免理论分析的缺陷，将所有实际因素都再现在实验结果之中，并且实验研蔓二茎究结果可以验证和指导理论分析的进展。阻尼叶片几何形状复杂，在汽流力的激振下，其振动特性非常复杂，非线性振动理论和解法也不成熟，有很多的问题需要解决。因此，阻尼叶片的动力特性研究是一个非常崭新的挑战性前沿课题。为了减少流动损失和增加叶片刚性，在涡轮机中，往往采用围带和拉筋将几个叶片连接成叶片组。几个叶片与围带和拉筋组成的振动系统塑丝——一一具有多样的振型和复杂的频谱。对于等截面叶片组振动计算，普遍地采用系数图线法。对于变截面叶片组振动计算，早在五十年代，Ｐｒｏｈｌ就曾经提出过围带叶片组的振动计算方法【２４。，它忽略了切向与轴向弯曲振动的耦合，只将轴向弯曲振动与扭转振动耦合在一起，这就局限它只适用于截面的最小主形心轴与轴向重合的叶片。同时它还忽略了剪切变形、转动惯量和离心力的影响，因此无论将它用于短叶片或长叶片，计算值都不够精确。Ｄｅａｋ等提供了曾在美国Ａｌｌｉｓ—Ｃｈａｌｍｅｒｓ公司多年应用的汽轮机末级叶片组的振动计算方法［２５１，它将切向振动、轴向振动和扭转三者耦合在一起，并考虑了边界叶片和中间叶片的差异以及离心力的影响。它既可用于围带叶片组，又可用于几排拉筋连接成的叶片组。但是没有考虑剪切变形和转动惯量的影响，用于高压级叶片受到限制。Ｔｈｏｍａｓ等应用有限元法计算叶片组的自由振动频率【２“，用Ｓｔｕｒｍ序列和反迭代法求矩阵的特征值和特征向量。可惜它只是考虑一个平面上的弯曲振动，也忽略了剪切变形和转动惯量的影响，几排拉筋连接成的叶片组的情况也没有考虑。林俊灿１２。７】采用传递矩阵法，它将叶片作为变截面梁的非对称弯曲，将扭转振动与两个平面内的弯曲振动通过拉筋耦合在一起。并作了以下改进：考虑了叶片和拉筋的剪切变形和转动惯量的影响；合理地考虑了离心力的影响；在动态下计算叶片与拉筋之间的作用力和力矩，这样既提高了它的计算精度，又扩大了计算机程序的通用性。１．３本文的工作内容和安排摩擦阻尼叶片动力学的理论研究模型有多种形式，最常用的是平台阻尼器模型，且多是研究单摸态动力学模型，即单自由度质量一线性弹簧一阻尼系统在其共振频率附近的动力学行为。Ｗａｎｇ［２副发现，共振频率漂移和最大振幅与速度相关摩擦力的系数有很大关系。Ｆｅｒｒｉｌ２引用奇异摄动理论研究简化的０质量（无限刚度）和小质量系统的周期解，并将在一定参数范围内的结果与原系统的数值结果进行比较。ＢｅｒｔｈｉｌｌｉｅｒＩ３０】茎二童笪鲨一一用多谐波频域分析结合Ｃ－Ｂ的局部模态综合方法，研究发现高阶谐波振动成分对叶片响应有很大影响。他们‘３１ｌ还用Ｎｅｗｍａｒｋ方法研究了三维结构的弯扭耦合振动。其中，将干摩擦连接件看成几个平行的离散单元。Ｗａｎｇ【３２１用ＦＥＴ研究了分别作用单、多谐波激励的０质量系统黏滑振动响应。在一定激励参数范围内，干摩擦连接件的减振效果颇为明显。季保华［３３１实验研究了摩擦面压力、接触状态和激振力对叶片动态特性的影响，结果表明摩擦对减振是有效的。近期还有多篇文献研究轴系扭振与叶片振动的耦合问题‘３４、３５１，但连接处简化为固连，或者用摆簧弹性联结，或粘性阻尼连接等等，还未涉及到干摩擦粘滑振动对叶片振动的影响。本文的工作内容和安排如下：ｌ阻尼叶片机理和数学模型的建立叶片阻尼是叶片动力特性的重要参数，主要分为四种类型。本文介绍了各种阻尼，特别是界面摩擦阻尼产生的机理及相应的数学模型，为阻尼叶片运动方程的建立奠定了基础。本文还逐一分析了叶片中多处的干摩擦阻尼环节，比如叶根、叶片平台、围带（凸肩）、拉筋等地方。２叶片激振力的研究对激振力的研究是阻尼叶片动力特性研究的～个重要组成部分。阻尼叶片的非线性动力特性不仅与叶片自身的材料、约束条件有关，还与激振力有关。在激振力的各阶谐波分量中，影响叶片安全运行的激振力仅是接近叶片自振频率的分量，其它分量虽使叶片做强迫振动，但是动力响应与前者相比很小。因此，降低接近叶片自振频率的激振力谐波分量是主要研究的问题。３叶片单自由度方程的求解建立单自由度的千摩擦阻尼叶片振动模型，应用平均法分析了一阶和二阶主共振的情况，通过幅频响应曲线得出主要的系统参数对频响曲线的影响规律，得出对实际应用具有指导意．义的结论。４考虑叶片弯扭耦合的模型在阻尼叶片的模型中采用两个并联的阻尼器，并且考虑弯曲和扭转的耦合，建立了两个自由度的运动方程。应用谐波平衡法进行求解，分析了频响曲线的形状，得出主要系统参数对频响曲线形状的影响，并通过与数值解的比较验证结论的准确性。５对全文进行工作总结，指出可能存在的问题和今后研究的方向。第二章叶片阻尼机理及激振力分析第二章２，１概述叶片阻尼机理及激振力分析阻尼是叶片动力系统的一个关键参数，它对估算叶片的共振动应力起到非常重要的作用。目前的研究表明，叶片的阻尼环节大致可以分为以下四种：材料阻尼：由叶片材料及质量分布所决定的固有的阻尼特性；摩擦阻尼：叶片在接触面（叶根、叶根平台、围带或凸肩、拉筋等部位）的摩擦而产生的对叶片能量的消耗；气动阻尼：流体对动叶作用而产生的阻尼，包括粘性阻尼及气动弹性阻尼；冲击阻尼：叶片与叶片或叶片连接件之间在叶片振动过程中的相互碰撞所造成的阻尼。上面四种叶片阻尼中，叶片材料阻尼和摩擦阻尼是主要的，对叶片阻尼的贡献最大。叶片粘性阻尼约占叶片材料阻尼的１０％，气动弹性阻尼所占的比例很小，但是气动弹性阻尼有时候会引起叶片的颤振。干摩擦阻尼是叶片阻尼中最有效的阻尼方式。要准确地估计干摩擦对阻尼叶片的减振贡献，必须建立起对它的合理数学描述。干摩擦阻尼作为一种摩擦物理现象，它不仅表现摩擦面之间的力的关系，还表现在对能量的消耗上。文献［１２－１４］对摩擦模型的建立做了有益的工作，但是他们的工作都是建立在单自由度系统的基础上，不容易推广使用，因此还有很多的工作要做。。２．２材料阻尼及其数学表达很多研究发现，叶片的材料阻尼是叶片的固有特性，它分布在整个叶片结构之中”“。叶片的材料应具有高阻尼特性，保证叶片有足够的抗振强度，避免损坏事件的发生。研究材料的力学特性时，往往把材料看成是纯弹性性质的，即完全遵循胡克定律，特别在低应力情况下是这样的。但事实上，即使在低压力条件下，材料的应力和应变也不完全遵循胡克定律。宏观上连续的金属材料会在微观上因应力或交变应力的作用而产生分子或晶界之间的位错运动、塑性滑移或其它原因耗损能量产生阻尼。在低应力状况下由金第二章叶片阻尼机理及激振力分析属的微观运动产生的阻尼耗能，称为金属的滞弹性，可以由图２．１加以说明。当金属材料在周期性的应力作用下，加载线ＯＰＡ因上述原因形成略有上凸的曲线而不再是直线，而卸载线ＡＢ将低于加载线ＯＰＡ。于是在一次周期的应力循环中，构成了应力一应变的封闭回线ＡＢＣＤＡ。对于阻尼等于零的完全弹性材料，封闭回线将退化为面积为零的直线ＯＡＯＣＯ。产生阻尼耗能的力学现象是应变滞后于应力，才构成这一回线，所以称之为滞迟回线，阻尼消耗能量的值正比例于封闭回线的面积，这一现象是由金属的滞弹性所造成的。严格地说，金属地滞弹性与频率和温度是有关的，在特定的温度和频率下，金属内部分子易于产生位错现象面耗能；这些耗能现象当然都是指机械能转换成热能，然后向周围环境耗损。在特定的温度及频率下，金属的微观结构也会将振动直接转变为热流而耗损能量，所以，金属的这种滞弹性虽然和应力幅值及疲劳周数无关，却和频率与温度有关。ｌ盯、，，研ｃ么。佰ｉ／图２．１应力应变迟滞回线当金属材料承受的应力逐步上升，达到疲劳极限８０％左右的高应力状况时，晶体内部应力的不均匀性及晶界之间的应力集中，会使某些部分的应力达到足以引起内部塑性应变的水平。即使宏观的或平均的应力很低时，这种局部的塑性应变也已经发生，而在达到高应力状况以至接近疲劳极限时，这种局部塑性应变的体积占总体积的比重便急剧增加，由此而使机械能的耗损大幅度增加，成为产生阻尼的又一个原因，或又一种机理。所以，金属在低应力状况下，是其滞弹性产生阻尼，而在应力增大时，局部塑性应变渐渐变得重要起来，以至高应力状况时成为产生阻尼的原因，其间没有明显的分界。而且，因为这种机理在应力增长过程中都在起作用而且发生变化，所以，金属材料的阻尼在应力变化过程中不为常值，而在离应力或大振幅时呈现出较大的阻尼。９第二章叶片阻尼机理及激振力分析Ｂ．Ｊ．Ｌａｎｚａ等人对叶片的材料阻尼进行了大量的研究，发现材料阻尼与金属的成分、热处理方式、动静应力和温度有关。研究发现叶片材料阻尼的对数衰减率与叶片的振动幅值有定量关系，材料阻尼公式为：ｄ＝Ｊｃｒ”（２—１）上式中ｄ是单位体积的材料耗能，盯是局部应力，Ｈ是指数，Ｌ，是比例常数，整个叶片系统的材料耗能为：Ｄ＝Ｉｄｄｖ＝肛”ｄｖ（２—２）叶片系统的应变能为：ｕ＝ｉ１肛。（２—３）那么，叶片材料的对数衰减率为：一：一Ｄ５＝——２Ｕ（一）（２—４）、７对于ＡＩＳｌ４０３不锈钢的均匀粱，Ｌａｚａｎ取＂：２．９，Ｊ：２．０×１０—１３。Ｅ＝２８．４ｘ１０６ｌｂ／ｍ２，如果根部应力为５０００ｐｓｉ，计算万＝０．０１４，这种阻尼值的估计方法一般与试验值吻合较好。文献‘”１给出了叶片材料阻尼的计算方法。２．３气动阻尼气动阻尼是动叶与流体（蒸汽和燃气）相互作用而产生的对动叶的阻尼。气动阻尼进一步可以分为粘性阻尼和气弹阻尼，它们的产生机理有所不同。２．３．１粘・眭阻尼‘叶片周围的工作介质对叶片产生的流体粘滞阻尼，称为粘性阻尼［３８Ｊ。由于流体的粘性，在叶片壁面上产生固液界面的摩擦，并且叶片在振动同时，要带动周围介质一起运动，即一部分能量将传给气体介质，叶片的振动被衰减。２．３．２气弹阻尼除了粘性阻尼贡献外，介质对叶片阻尼还有一部分阻尼贡献，即气Ｏ第二章叶片阻尼机理及激振力分析弹阻尼。气弹阻尼是指叶片振动与气体流动相互作用所产生气动弹性作用对叶片振动的能量衰减。由于叶片的振动，引起叶片周围介质流动参数的变化，从而引起叶栅升力（推动力）的变化，表现为一种阻尼形式，称为气弹阻尼。一般情况下，气弹是阻止叶片振动的，但是在某些情况下，它会促使叶片振动而产生叶片的自激振动。在汽轮机或燃气轮机叶片中很少会出现自激振动现象１３…。实际运行经验和实验研究证明气动阻尼在叶片阻尼中占的比例比较小。这部分阻尼可以用实验的方法测得，方法是分别在介质和真空中测得叶片的阻尼值，然后比较测试结果，便能得出叶片各阶振动的阻尼值［３９Ｊ。文献［４０１通过实验测得了一个模型叶片组的气动阻尼比，测试结果表明在一定的叶片振动幅值情况下，叶片的气动阻尼与流体马赫数有关。在测量范围内叶片的气动阻尼比有正有负，与马赫数有关。文献【４１】介绍了跨音速压缩机叶轮叶片阻尼的测试方法。２．４冲击阻尼在实际运行中，叶片振动时还存在着一种撞击阻尼，通常称之为冲击阻尼。这种形式阻尼在叶根处、拉筋或叶片凸肩与围带之间。当叶片振动幅值比较大时，如机组升速或降速过ｌ｜缶界转速时，叶片与拉筋之间或叶片连接件之间有脱离发生，发生冲击碰撞，这种碰撞是一种非完全弹性碰撞从而消耗能量。碰撞时发出的声音也是一种能量形式被释放出来。目前对这种阻尼的研究还比较少，定量研究就更少一些，需要深入的研究。但一般认为，这种阻尼在机组正常运行时对叶片阻尼贡１献较少。２．５界面摩擦阻尼两个相互贴紧的接触面承受一个附加的激振力ｔ，当疋逐渐增大时，假设阻尼结构不发生变形，但是在结合面中仍将产生相对变形△或结合面内的接触应力和应变。图２．２表示最初的相对位移和变形与力呈线性关系，是弹性变形ＯＰ；然后，进入非线性变形区ＰＢ，随着Ｆ口的进一步增大，达到了结合面的正向压力所允许的某一极限值，在结合面中产生了相对的宏观滑移，这时两结合面之间在接触部分发生了干摩擦或库仑摩擦。到达终极位置Ｃ以后外力Ｅ反向，力一位移线沿ＯＰ平行方向下降，至ｐ’点后有一段非线性卸载线Ｐ、Ｂ、，到达反向极限以后，再次发生相对宏观滑移１３’Ｃ‘，力的循环形成力～位移的一次周期及回线Ｃ‘ＢＣＢ’Ｃ‘。对第二章叶片阻尼机理及激振力分析应于图２．２中，如果在Ｂ点以前名即开始反向，便形成如图２．３所示的力一位移周期回线ＡＤＡ’Ｄ、Ａ。交变力ｅ与咬变弹性位移△在结合面中所损耗的能量正比例于回线所包围的面积，产生结合面滞弹接触阻尼。相反，由宏观滑移ＢＣ及Ｂ、Ｃ、与交变力所损耗的能量，正比例于连接ＢＣＢ、Ｃ’所构成的菱形面积，产生库仑摩擦阻尼。｜『＾ｃｌｆｎｆｎ砖／／ｌＯ・／．一ｃ：。荔．＃一一６７晌。Ｏ／ＤＡＡ，厶ｌ／图２．２摩擦力与相对位移迟滞回线图２．３摩擦力与相对弹塑性变形迟滞回线当结合面之间正向应力增加时，首先相互接触的峰顶部分产生弹性变形，继续增加正向压力，峰顶部分到达屈服强度而产生塑性变形，但是周围区域仍然处于弹性变形阶段，因此，接触区便形成弹性变形和塑性变形共存的状态。任何一个接触面的表面都是高低不平的，有很多的接触点，这些很多的接触点表现出来的力学特性自然就是初期为线性，然后呈非线性。在正压力作用下，结合面的各不平度峰顶接触部分相互嵌入，在承受切向交变力ｔ时，结合面之间就产生了交变的和微观的变形与位移；显然，这一变形或位移应该呈现出非线性性质，并形成可以耗能的滞迟回线，这～种变形亦可以称之为周期性的滞迟变形。其本质就是接触区的局部塑性应变产生的能量耗损。从表面现象上看，库仑摩擦阻尼和结合面接触阻尼有相似之处，它们都来源于结合面之间的相对运动，但是从阻尼的产生机理上比较，两者之间存在差别。如果说结合面接触阻尼是由微观的变形产生的，那么，库仑摩擦阻尼则由结合面之间相对宏观运动的干摩擦耗能产生的，它所耗能量可以通过分析计算，由摩擦力一位移滞迟回线所包围的面积得到。图２．２滞迟回线所包围的面积，实际包含了结合面接触阻尼和库仑摩擦阻尼两部分耗能。在各类库仑摩擦阻尼器中，都设计了很大面积的摩擦塑三童堕苎堕星垫墨垦塑塑杰坌近一耗能面，相对位移的大小远远大于结合面之间的微观变形。在叶片系统中有结合面摩擦的主要部位有：叶根处，叶根平台，拉筋，叶片围带或凸肩处（专门作成的阻尼结构）。下面分别对其机理进行分析。关于界面摩擦阻尼的微观和宏观机理可以参考文献¨２１７１比较详细的论述。２．５．１叶片摩擦阻尼的主要分类ｌ叶根处的摩擦阻尼当叶片装入叶轮轮槽之中，叶根与轮缘的接触部分就提供了相互滑动的摩擦面。研究表明，叶根处的摩擦在机组转速比较低的时候对叶片的阻尼贡献比较大，而在机组转速比较高的时候，叶根处的摩擦对叶片的阻尼贡献就比较小了。当机组转速比较低的时候，叶片的离心力比较小，叶根与轮缘之间的接触压力也就比较小。叶片在振动时，叶根与轮缘之间比较容易产生相互摩擦滑动，对叶片振动起到比较大的阻尼作用。而当机组转速逐渐上升时，叶片的离心力也逐渐变大，叶根与轮缘之间的接触力也变大，叶根与轮缘之间的滑动就比较困难。这时，叶根处的摩擦就变的比较薄弱。Ｊ．Ｓ．ＲＡＯＨ８Ｊ实验研究了自由叶片的阻尼比与汽轮机转速之间的定量关系。实验时将叶片转子置于真空中，通过用电磁激振器来激励叶片，测量叶片根部阻尼并给出了实验曲线，。如图２．４所示。从图上可以看出，各阶模态曲线的趋势是随着机组转速的上升，叶片的阻尼比里减小的趋势，特别在转速为４００ＲＰＭ左右，叶片的阻尼比有一个突降，文中称其为阀值。这个阀值就是叶根与轮缘之间的锁定值，即由于较大的离心力，叶根与轮缘之间的滑动摩擦被“制动”的速度。剩余的阻尼主要是叶片的材料阻尼，而在阀值之前，叶片的阻尼主要是叶根与轮缘之间的摩擦阻尼。・２叶片平台处的摩擦阻尼叶片平台阻尼装置常见的形式有以下三种。第一种是用专门设计的阻尼结构，使阻尼结构与叶片安装平台下部发生摩擦，这种阻尼结构是靠离心力作用使阻尼器与叶根平台下部发生紧密接触的［３９１。第二种形式是叶根平台与叶轮某固定处发生摩擦，许多文献称之为叶片一基础摩擦（ＢＬＡＤＥ—ＧＲＯＵＮＤ）［ｔ３Ｊ。第三种形式就是叶根平台与叶根平台之间的第二章叶片阻尼机理及激振力分析摩擦（平台之间装有摩擦垫片），特别是同向装配的叶片。对于叶根平台的摩擦运动，叶根平台与相应摩擦面之间的正压力起着非常重要的作用，这影响到阻尼结构的耗能值。理论及实验表明叶片平台与相应摩擦面之间存在着最优正压力，在最优正压力下阻尼器对叶片的耗能最大。Ｙ～～～厂：■可１ｇｌ口善ｅ暑＆一定．二＝，．、．Ｚｉ枷Ｒ露面（删！图２．４叶根阻尼示意图图２，５叶片围带（凸肩）示意图３阻尼拉筋与叶片拉筋孔之间的摩擦阻尼在机组起动后，由于离心力作用，拉筋与叶片拉筋孔之间相互贴合面之间有一接触压力。当转速较小时，接触压力也较小，拉筋与叶片之间可以相互摩擦滑动。当转速较高时，由于较大的离心力而使拉筋与叶片之间压紧力变得很大，拉筋孔与叶片之间的摩擦滑动变得困难，摩擦对阻尼的贡献便变得很小，这时拉筋对叶片（叶片组）的频率及模态影响比较大。因此，很多的研究学者认为阻尼拉筋在机组起动或停机时对叶片的减振效果比较好，可以使叶片避免过大的瞬态动应力。４叶片凸肩、围带处的摩擦阻尼前面所述三种结构摩擦环节是前人研究较早的结构，它们之间有一个很相似的特点，就是摩擦面之间正压力与转速有关，并且这个正压力不容易实现调节。研究表明摩擦阻尼对应着一个最优的正压力，在最优正压力的情况下，阻尼效果最好。因此，要获得最优的阻尼效果，就要实现阻尼摩擦面正压力的方便调节。叶片凸肩、围带阻尼结构就可以实现这种调节。如图２．５所示，在机组静止时，叶片围带（凸肩）之间有一间隙，而当机组旋转耐，由于叶片的扭转恢复作用，相邻叶片围带或４第二章叶片阻尼机理及激振力分析凸肩相互接触贴合，当叶片振动时，围带或凸肩之间便发生相互摩擦滑动。理论及实验研究表明，叶片凸肩或围带之间存在最优的正压力，因此，如果想要调整阻尼接触端的正压力值，使叶片的振动应力减至最低，只需方便地调整叶片凸肩或围带之间地间隙，就可以达到。２．５．２摩擦面力学行为的描述在切向力的作用下，如果两个接触面之间存在正压力，那么接触面上就会产生摩擦力。在切向力小于两接触面间最大静摩擦力时，摩擦面之间的静摩擦力与切向力相等。此时，两接触面间虽然没有宏观滑移，但存在弹性变形。如果切向力超过了两接触面之间的最大静摩擦力，则两接触面会发生宏观的相对滑移。前面的分析中，没有考虑摩擦面上局部细微的变化。目前主要存在着两种摩擦模型，一种是整体滑移模型，这种模型不考虑摩擦面在摩擦过程中的局部变化，而是将整个摩擦面同一对待；另一种是局部滑移模型，这种模型认为由于摩擦面间的正压力分布不均匀或者摩擦面各处的材料力学性质分布不均匀，造成摩擦面在相互摩擦时各处的变形和状态不一致。１整体滑移模型整体滑移模型认为摩擦面相互摩擦时，摩擦面上的应力、应变场分布是均匀的，在外力的作用下，整个接触面上的各点的变形是相同的，如图２．６（ａ）所示。因此，在两接触面发生宏观相对位移的临界点，接触面上的各点或者同时保持弹性变形状态，或者同时发生宏观的相对滑移；这样，可以将整个接触摩擦面作为一个点来对待，用这个点来代表整个摩擦面。如图２．６（ｂ）中Ａ点所示。整个滑移状态有两个，一是不滑动，二是滑动，摩擦面之间的摩擦力可以表示为‘ａ’‘ｂ）图２．６整体滑移模型筇二章叶片阻尼机理及激振力分析。ｆ：渺发生宏观滑移时ＩＫ＾Ａｕ没有宏观滑移时（２—５）上式中“是摩擦面间的摩擦系数，＿ｖ是摩擦面间的法向压力，即正压力，Ｋ。是摩擦面间的剪切弹性系数，△“是摩擦面间的相对位移。２局部滑移模型实验证明整体滑移模型在接触面正压力比较小的时候，是比较符合实际情况的。但是对于接触面正压力比较大且分布不均匀的时候，问题变得比较复杂，整体滑移模型就不能准确反映实际情况，需要发展一种新的模型，即局部滑移模型。与整体滑移模型不同的是，局部滑移模型将摩擦面间的滑移分成三个不同的阶段：（１）弹性变形阶段在切向力比较小的情况下，整个接触面还没有发生宏观滑移，但是接触面之间已经有弹性变形了，如图２．７‘（ａ）所示。图中ｑ是压力分布密度。摩擦面间的弹性变形是当地材料和应力的函数，用占，表示，两摩擦面间的摩擦力是摩擦面各处的切向弹性应力在整个面Ｓ上的积分：，＝体（，）・日（ｒ）ｔｄｓ（２—６）Ｓ上式中的墨（ｒ）是摩擦面间的局部剪切弹性系数。ｑ（ａ）‘ｈ）图２．７局部滑移模型的弹性变形阶段（２）部分滑移阶段随着切向力增大，摩擦面之间的变形便由弹性变形阶段过渡到了部分滑移阶段，即虽然接触面间没有发生整体的滑移，但是有一部分接触面之间已发生了相互滑移，如图２．８（Ｏ－）所示。在弹性变形部分，摩擦力是切向弹性应力在Ｓ上的积分：在滑移部分，摩擦力是摩擦切向应力在区域足上的积分。整个摩擦面上的摩擦力是弹性变形部分和滑移部分摩擦力的和，如图２．８（ｂ）所示。摩擦力可以用下式表示：第二章叶片阻尼机理及激振力分析，＝忙（，）・。（ｒ）・出＋∥ＩＯ＂Ｉ（ｒ）・ｄｓ（２—７）马岛式中ｑ（ｒ）是局部法向压应力。芒生④ｍ讯｛胁ｋ—ｌ！ＪＨ－二（。。Ｉ％）＼尸——｝＿—，・：Ｆｔｈ＇图２．８局部滑移模型的部分滑移阶段图２．９局部滑移模型的全部滑移阶段（３）全部滑移阶段当切向力增大到一定程度后，在部分滑移阶段的弹性变形区域也发生了相对的滑移，此时整个接触面开始全部的滑移，如图２．９所示。摩擦面间的摩擦力为摩擦面间的切向应力在整个摩擦面上的积分：，＝∥Ｊ乃ｐ）－ｄｓ（２—８）Ｓ３干犀擦阻尼力的非线性性质根据整体滑移模型和局部滑移模型对接触面间的摩擦力的表达式，可以方便的推导出摩擦力在摩擦过程中的变化过程，如图２．１０所示。图中ｏａ段表示接触面还没有发生整体滑移，只是弹性变形或者是部分滑移，摩擦面问的作用力还没有达到滑动摩擦力州。当曲线超过了ａ点时，摩’擦面之间便会发生宏观的滑移，摩擦力为ｆ＝∥（２－－９）摩擦力的变化过程是非线性的变化过程，．在ｏａ段上摩擦力是摩擦面间相对位移的函数，显示了干摩擦阻尼力的非线性的性质ｍ，。．ｒＦ０Ａｕ图２．１０摩擦力的非线－眭特性第二章叶片阻尼机理及激振力分析４滑移面间隙的描述１在叶片振动的时候，两个相互摩擦的接触面有时可能也会发生分离的现象。叶片振动时振幅过大而造成阻尼器的摩擦面相互分离，如图２．１ｌ所示。阻尼叶片在安装时，叶片阻尼器间隙值较大也会造成叶片振动时摩擦面分离（例如某机组的整体围带阻尼叶片口们）。摩擦面间隙的存在将会对阻尼叶片的频率和响应产生较大的影响¨…，进而影响到叶片的内部动应力，阻尼叶片的间隙可以用图２．１２的质量一弹簧系统表示。摩擦面间的摩擦力表示为：图２．１１阻尼叶片振动过程中的分离现象图２．１２阻尼器间隙模型，＝ｋ，‰棚妞＜Ｄｓ（２一ｌｏ）‘４Ａｕ≥Ｄｓ２．５．３摩擦力的数学表述前面介绍了摩擦面间的滑移力学模型，摩擦面问的滑移有两种，即整体滑移模型和局部滑移模型，这两种模型各有优缺点和其使用场合。整体滑移模型适用于两摩擦面间正压力比较小，且压力在整个区域内分布比较均匀的情况。整体滑移模型比较简单，计算量小，对于非线性动力问题的迭代求解来说，比较适用。而且。由于整体滑移模型将整个滑移面作为一个点来处理，月梁单元、扭曲梁单元作有限元计算更是显出其优越性。局部滑移模型适用于接触面正压力较大，分布不均匀的情况，由于它能考虑摩擦接触面的局部细节，因此模型更精确。本文在全面分析阻尼叶片摩擦面所受正压力的情况及权衡了计算量和精确度的基础上，选择了整体滑移模型。１摩擦面正压力不变时的摩擦力表达式接触面间的摩擦力的产生原因是摩擦接触面受到了与接触面平行的切向力的作用，如果此切向力是一个周期作用力，那么两接触面便会发第二章叶片阻尼机理及激振力分析生往复的周期摩擦运动。由于本文研究的是振动问题，因此就以系统受到周期作用力作为研究对象。不失一般性，设系统受到简谐激励。在周期性作用力下，两接触面间的力与位移的关系是一条迟滞回线，如图２．１３（ａ）所示。图２．１３（ａ）与图１不同，在图２．１３（ａ）中，加载线和卸载线是对称的。为了方便计算，可以将图２．１３（ａ）化为图２．１３（ｂ）。图２．１３（ｂ）中，Ａ点表示口＝０，Ｂ点表示０＝口＋，Ｃ点表示口＝ｇ，Ｄ点表示口＝０‘＋疗。设两接触面间的相对运动为简谐振动，ｌｆ／刃一＿￡——＿／ｉ／‘ａ）‘ｂ）图２．１３正压力不变时的摩擦力与位移迟滞回线即表示为Ａｕ＝Ｂｃｏｓ８（２—１１）其中口＝耐一伊，式中曰为摩擦面间稳态相对振动幅值，埘为激励频率，ｐ为相位差。则摩擦力的表达式为：Ｋａ（６ｕ—Ｂ）＋州０≤口＜口’ｆ＝一心日‘≤口＜石一Ｋｄ（Ａｕ一占）一ａＮ厅≤目＜目・＋石（２—１２）幽目＋＋石≤目≤２ｒｅ上式中局为接触面间的剪切刚度，口‘可以表示为：０‘＝ＣＯＳ。（１—２∥Ｉ（Ｋｄ・Ｂ））（２一ｌ３）（２—１２）式是一个分段函数，很难应用到系统有限元方程中。由于系统所受激励为周期作用力，可以应用谐波平衡法对摩擦力进行处理１５１】。谐波平衡法是一种基于傅立叶级数展开的方法，根据此方法将摩擦力进行傅立叶级数展开，并取其合适的前几阶谐波。在保证精度的情况下取一阶谐波，即前两项为Ｚ。＝Ｆｏ（Ｂ）ｃｏｓ０＋Ｅ（Ｂ）ｓｉｎ８１９篁三皇吐堕堕星垫堡垦塑塑垄坌盟——————其中Ｅ（Ｂ）－－，２。ｆｅ．ｃ。ｓ伽＝Ｘ疗ｄ＿＿ＢＢ（８＇－ｓｉｎＳ＂ｃｏｓ８＂）（２－－１５）胛）＝昙ｒ埘ｎ础护＝弓舢一茜）２摩擦面正压力变化时的摩擦力表达式ｆｃｚ叫）Ｄ／２，ｕＩ，Ｉ．。｜ｊ｜秤｜一ｒＢ２ｎ冉一ｃ纱Ａｕ图２．１４正压力变化时的摩擦力与位移迟滞回线对于摩擦接触面为一斜面的阻尼结构，其摩擦接触面与叶片振动方向成口夹角（０＜口＜９０）。当叶片阻尼器相对运动时，其接触面压力是变化的【５２１，变化的正压力作用在叶片上，会对叶片频率和响应产生进一步的影响。设阻尼结构间的正压力为相对位移的线性函数，相对位移△“仍然为时间的简谐函数，则接触面间的正压力表示为：Ｎ＝Ｎｏ＋＾。Ａｕ（２—１７）上式中Ｎｏ为初始正压力，丑。为正压力增长系数。阻尼端的摩擦力与位移的迟滞回线可以用图２．１４表示，图中Ａ点表示目＝０，Ｂ点表示０＝０＋，Ｃ点表示０＝石，Ｄ点表示日＝０’＋丌，则摩擦力的表达式为：Ｋｄ（Ａｕ—Ｂ）＋／．ｔ（Ｎｏ＋Ａ。Ｂｏｏｓ０）ＯＳ口＜口‘口＋≤口＜石ｆ＝一∥（Ⅳｏ＋Ａ。Ｂｃｏｓ０）一Ｋｄ（Ａｕ一占）一∥（Ｎｏ＋旯。Ｂｅｏｓ０）（２—１８）石≤０＜０＋＋厅秽＋＋厅兰拶≤２ｘ拱＠ｎ七Ａ。ＢｃｏｓＯ）ｐ・≠ｃｏｓ一１ｆ１一—２，ｕ（Ｎｏ—＋ＡｅＢ）．）、（Ｋａ＋２∞。）Ｂ。同样用谐波平衡法将上式线性化：（２—１９）第二章叶片阻尼机理及檄振力分析＾。＝Ｆ。（Ｂ）ｃｏｓｅ＋Ｆ，（Ｂ）ｓｉｎ０（２—２０）其中疋（驴昙ｒ厶ｃ。ｓＯｄＯ＝姜【三（置。Ｂ＋２肼ｐＢ）Ｏ＋＋（２／．ａＶｏ一足。召）ｓｉｎ口’＋Ｉ（ＫａＢ＋２弘Ａ。Ｂ）ｓｉｎ２０＂ｌｐ．）．ｐＢｌ只（耻昙ｊｒ／：ｒｓｉｎ舭＝ｉ２‘１（世。口＋２，％Ｂ）一Ｋａ曰十｛（畅曰＋２，以，国ｃｏｓ２口＋一（２∥ｏ一亿Ｂ）ｃｏｓａ＋］另外，叶片阻尼接触面除承受变化的摩擦力外，还承受着变化的正压力，这个变化的正压力对叶片来说，也是一种外部激振力。对变化的接触面正压力进行傅立叶分解得：Ｎ＝只ｃｏｓ８＋只ｓｉｎＯ只＝委ＩＦ（Ⅳｏ＋）ｔＢｃｏｓ０）ｃｏｓ甜目＝２ｖＢ只＝昙ｌｒ（Ⅳｏ＋２ｐＢｃｏｓ州ｎｏｄＯ＝。从上面的推导结果可以看出，正压力得变化只是影响叶片系统的刚度对阻尼矩阵没有影响。３摩擦过程中摩擦面发生脱离时的摩擦力表达式前面已经叙述了滑移面间隙模型，式（２一ｌ０）表示在接触面相互摩擦的过程中，有一段时间两接触面是分离的，它们之间没有摩擦力。摩擦面之间的力与位移的迟滞回线与图２．１２有很大的不同，如图２．１５所示。设两接触面相对振动初始有一间隙Ｄ。，振动从Ａ点１（０＝０）开始描述，沿卸载线ＡＢ到Ｂ点（０＝０＋）（两接触面由最大相对正位移开始反向弹性移动），由Ｂ点到Ｃ点（０＝鼠）两接触面开始反向相对滑移，到Ｃ点后两接触面脱开，摩擦力降为零，即为Ｄ点，沿ＤＥ线两接触面继续反向运动到Ｅ点，到最大相对负位移后又开始相向运动，沿ＥＤ、线到Ｄ’点（０＝０２）。到Ｄ、点后两接触面又开始接触并相互摩擦（加载）到Ｆ点（０＝０３），到Ｆ点后两接触面又开始正向相对滑移。它的力和位移的迟２ｌ第二章叶片阻尼机理及激振力分析滞回线是比较特殊的，因此其摩擦力的表达式为：Ｅ，－历。缓盈．０５图２．１５阻尼器间有间隙时的摩擦力与位移迟滞回线Ｋｄｒ（Ａｕ—Ｂ、＋／２，ｖ０兰０＜０’一／２Ｎ０＋≤０＜ｑｆ＝Ｏ０１≤０＜０２（２—２６）局（△“一喀）０２≤０＜岛懋０３≤０≤２ｚｃ其中㈣ｏｓ一１（务８・＝２ｒｒ－岛，０３＝ｃｏｓ－＇（－－警－＋茜）（２～２７，２８，２９）０’与前面的相１０。对上式用谐波平衡法线性化为：＇ｘｎ＝Ｆｃ（Ｂ）ｅｏｓ０七Ｆｓ（Ｂ）ｓｉｎ０（２—３０）式中Ｆｏ（Ｂ）＝丢ｆ５工ｃ。ｓ８ｄＯ＝击【也占（ｓｉｎ２０＋＋ｓｊｎ２岛一ｓｊｎ２岛）】＋毒三二【—ｋＢ（岛一岛＋目＋）】＋土（，Ｗ—ＫｄＢ）ｓｉｎＯＹ＋三，Ｗ（ｓｉｎ０‘一ｓｉｎＢ）（２－３１）ｚ汀。耳行＋ｉ—ｌＫｄＤｓ（ｓｉｎ０２一ｓｉｎ０３）１一』∥矿ｓｉｎ岛万。疗ＦＡ曰）＝妻ｒ”＾ｓｉｎ鲥目＝－击ＫａＢ（ｃ。ｓ２岛－ｃｏｓ２０３一ｃｏｓ口＋）一当（州一ＫａＢ）ｃ。ｓ目’上∥（ｃ。ｓＯｉ—ｃ。ｓ目‘）＋兰彪ｄＤｓ（ｃ。ｓ岛一ｃ。ｓ０２）（２—３２）石ｌＺ＂。疗”＋当弘Ⅳｃ。ｓ岛＋ａ－占ＫａＢ＋三（＃Ⅳ一ＫａＢ）一土弘Ⅳ死…耳冗第二章叶片阻尼机理及激振力分析２．６激振力分析在机组运行过程中，汽轮机叶片将不可避免地受到激振力的作用。激振力是叶片动力响应分析的前提，也直接关系到叶片的安全运行。但在激振力的各阶谐波分量中，影响叶片安全运行的激振力仅是接近叶片自振频率的分量，其它分量虽然使叶片做强迫振动，但是动力响应较前者小很多。因此，降低接近叶片自振频率的激振力分量是关键问题。２．６．１激振源分析作用于汽轮机动叶片的激振力主要由下列因素产生。ｌ结构因素进排汽管；级间抽汽；喷嘴配汽；尾缘厚度；隔板加强筋。２制造安装因素喷嘴节距和喉宽沿圆周分布不均；隔板中分面位错。３气动特性因素叶型表面产生附面层甚至脱流；汽道两端二次流动；激波扰动；动叶片自激振动。在小负荷、高背压运行工况下，动叶片在远离设计工况的大负冲角下运行时，动叶片容易在振动过程中不断地从汽流中吸收能量使振动加剧而发生颤振。４运行因素动叶顶部径向汽封磨损而产生非均匀周向激励；喷嘴出汽边冲蚀削落、动叶顶部围带开裂、叶顶汽封环缺损、喷嘴遭异物打伤等均将产生非稳定激振力。在以上各种因素中，主要产生高频激励的因素是喷嘴尾迹。其余各因素主要产生低频分量。２．６．２影晌激振因子的因素激振因子表示叶片所处汽流场的不均匀性，即汽流激振力的大小。１喷嘴尾缘厚度的影响静叶尾缘厚度与～阶高频激振因子近似成正比关系。随着尾缘厚度的逐渐增大，激振因子也随之增大。因此，合理设计喷嘴尾缘厚度来改善气动状况，对减小激振因子非常重要。２动静轴向间隙的影响第二章叶片阻尼机理及激振力分析动静叶栅之间相对轴向间隙的变化与激振力的关系而言，一般的结论是间隙越大则激振力越小。因为尾迹将随着间隙增大而逐渐拉平。但是（５３】的计算结果并不是如此。从图２．１６可以看出，先将动静间隙从设计值１０ｍｍ处增大，则可看出一阶高频激振因子随之减小，与一般结论相符；但当将动静间隙从设计值１０ｍｍ处减小时，最初激振因子一直增大，当动静间隙减小到一定程度时激振因子开始减小。这说明在设计参数合理选取动静叶栅之间的轴向间隙是非常重要的，因为在不同的范围取值其变化趋势是不同的。ｇ喜囊墨ｌ图２．１６激振因子与动静轴向间隙的关系３喷嘴喉宽节距制造偏差的影响在喷嘴的制造安装过程中，不可避免地存在误差，但是误差以何种形式出现也将决定着激振因子的分布。当喷嘴喉宽节距无制造安装偏差时，低频激振因子很低，只有在高频激振因子处出现峰值。当只有若干个喷嘴喉宽存在误差时，其激振因子的分布形式发生变化。人为的将第一个喷嘴喉宽减小，比其余的都小，则低频激振因子增大，且从２～６阶逐渐减小，到高频激振因子处出现峰值。为了更深入的研究喷嘴喉宽在随机状态下的不同形式对激振因子的影响，人为的改变其大小，令其具有一阶阶跃分布的特征，即喷嘴总数的前半段与后半段分别具有不同的值，如图２．１７所示。‘此时激振因子的分布如图２．１８所示。从图中可以看出，在奇数阶的激振因子及高频激振因子处出现峰值，而其余偶数阶的激振因子很小，几乎为零。用Ｆｏｕｒｉｅｒ验证说明结果正确。２４：Ｆ，第二章叶片阻尼机理及激振力分析图２．１７喷嘴喉宽沿圆周图２．１８喉宽一阶阶跃分布时的激振因子２．６．３激振力谐波分析动叶片在旋转过程中，将受到以转速为基频的周期作用力的激励，基频激振力的作用周期为丁２哆么。。对沿圆周分布的激励载荷可用付氏级数展开为转速倍率的各阶谐波分量。厂（ｆ）＝饨＋ｎＴ）０＝１，２…）巾）＝孚＋言ｏ。ｃ。ｓＧｗ）＋乩ｓｉｎＧ‰ｒ））记４＝粤，－。＝厢，吼：喀一－生ＺＯｎ则丸）＝Ａ。＋∑以ｃｏｓ（ｎｃａｏｔ＋ｑ’。）Ｈ＝Ｉ为采用快速付里叶变换（ＦＦＴ），应用欧拉公式将式（２—３６）作变换，（２—３６）式可以表示为：厂Ｏ）＝∑Ｃ。・ｅ…‘式卢Ｇ｜｜％一一ｍ矽ｗ二：吨一！卜斑显然＝第盯４次营ｑ波的振幅为该阶复数模㈨两倍：笙三童生苎堕星垫堡丛塑堑查坌堑Ａ。＝２・蚓＝√口：＋醒采用ＦＦＴ算法，可以快捷地求得Ｃ。的实部和虚部，进而求出ａ。和ｂ。鲁＝Ｒｅａｌ乜），二箬＝Ｉｍａｇ（Ｃ。）１…７１…（２—４０）则ｎ次谐波的振幅和相位角分别为：』。：厢＝舻辔。鲁ａ叫铡Ｋｅａｌ］２．４—（Ｒｅａｌ（Ｃ，）２＋—（Ｉｍａｇ（Ｃ．）２。＼卜。，／将，４０，Ａ。，及吼代入式（２—３６）即可获得激振力的各阶谐波分量．‘，（ｆ）＝ｆｏｃｏｓ（ｃｏＴ）・・・吒＝。，ｐ。＝。，一。＝２‘ｌ亡。１２；尚ｃ。ｓ（ｎ万）ｓｉｎｐ石）（２－－４３）－・巴２斋与ｃ。ｓ㈦ｓ；ｎ㈤，，２ｉＣＯ考虑对汽轮机叶片振动影响大的激振力第一阶、第二阶和第ｚ阶谐波分量（ｎ２＝２９）ｌ，Ｑｚ＝ｚＱｌ）：ｆｏｃｏｓ白ｒ）＝Ａｌｃｏｓｃｏｌｒ）＋爿２ＣＯＳ（（Ｄ２ｒ）＋Ａ：ｃｏｓ∞：Ｔ）（２—４４）本文首先介绍分析了汽轮机叶片阻尼的分类，以及叶片各种阻尼的机理。研究表明，在叶片阻尼中占主要地位的是叶片的材料阻尼和界面摩擦阻尼。界面干摩擦力是阻尼叶片的一个重要外部作用力，针对实际应用中对摩擦面的受力情况和所考虑的侧重点的不同，对其可以建立各种类型的滑移模型。在此基础上，可以推导出于摩擦力的表达式，并应用谐波平衡法对其进行线性化处理。然后，本文对产生汽流激振力的激振源进行了介绍分析，讨论了影响激振因子的主要因素，并对激振力进行谐波分析。在以后各章中，将取含第一阶、第二阶和第ｚ阶谐波的激振力进行叶片动力学研究第三章单自由度模型分析第三章单自由度模型分析３．１概述叶片是汽轮机的重要零部件，因承受气流周期性扰动力作用而振动，加之复杂恶劣的工作环境，常常会造成叶片失效。振动是影响叶片安全的重要因素，在很多’隋况下叶片失效都是因为叶片异常振动或承受共振应力带来的高周或低周疲劳而引起的。目前，世界上的汽轮机向大容量化、高速化发展。汽轮机的大容量化使得叶片需要比以往承受更大的气流力、离心力和更高的工作温度，因此对叶片的安全性提出了更高的要求。摩擦阻尼叶片具有良好的减振效果Ｈ“，对其动力学行为的研究工作已经有很多。Ｂｅｒｔｈｉｌｌｉｅｒ“”用多谐波频域分析结合Ｃ－Ｂ的局部模态综合方法，研究发现强迫力中的高阶成分对叶片的振动响应有很大的影响。季保华¨“实验研究了摩擦面压力、接触状态和激振力对叶片动态特性的影响，结果表明摩擦对减振是有效的。丁千¨”研究了干摩擦力对自激振动的影响，用平均法结合奇异性理论发现了自治系统的幅值跳跃和滞后。本文研究汽轮机干摩擦阻尼叶片在多谐波激励作用下的振动。用平均法””求出系统第一阶谐波和第二阶‘谐波的主共振稳态响应方程，分析了系统各参数与响应之间的关系，特别是考查干摩擦阻尼器参数（主要是阻尼端初压力值）抑制叶片振动的效果。所缛结论对工程应用有一定的指导意义。３．２阻尼叶片模型分析可以用质量弹簧系统来解释阻尼叶片的动力特性。叶片用质量块／／／来表示，阻尼器用无质量的弹簧和摩擦元件表示，如图３．１所示¨”，当叶片受稳态激励ｆｏｃｏｓ（ｃｏＴ）时，叶片的运动方程为：・肌膏＋ｃｉｃ＋ｋｘ＝ｆｏＣＯＳ（ｍＴ）一无（３—１）其中正为摩擦力。在正压力作用下，两结合面相互压紧和贴合，结合面凸凹处相互嵌入，在较小的切向拉力Ｚ作用下，两结合面之间先有一弹性至塑性的微变形，在这个阶段，叶片阻尼结构接触端之间没有发生滑动。当＾增大至一定程度，两接触面之间“接触层”被剪力拉断，叶片阻尼结构间便开始相互滑动。如果将阻尼端正压力Ⅳ在叶第三章单自由度模型分析片振动过程中的变化考虑进去（设为线性变化），则摩擦力＾与相对位秽ｘ形成如图２．１４所示的迟滞回线ｌ５４】，其关系如式（２—１８）。在机组运行过程中，汽轮机叶片将不可避免的受到激振力的作用。激振力是叶片动力响应分析的前提，也直接关系到叶片的安全运行。但在激振力的各阶谐波分量中，影响叶片安全运行的激图３。１阻尼叶片物理模型振力仅是接近叶片自振频率的分量，其他分量虽使叶片做强迫振动，但动力响应远比前者小１５９１。因此，我们只需降低接近叶片自振频率的激振力谐波分量。考虑对汽轮机叶片振动影响大的激振力第一，第二和第Ｚ阶谐波分量（Ｑ２＝２ｆ２ｌ，Ｑｚ＝Ｚｆ２１）则：ｆｏｃｏｓ（ｒｏＴ）＝ＡｌＣＯＳ（０）ｌｒ）＋彳２ｃｏｓ（ｃ０２丁）＋４ｃｏｓ如乞Ｔ）（３—２）３．３平均法解方程叶片的运动方程为：ｍ２＋西＋舡＝ｆ０ｃｏｓ（砑）一／：ｒＧ）（３—３）引入无量纲化变量：卜ｃｏ．ｔ，Ｘ＝言芦志一２詈Ｐｎｍ西。ｘ“”‘删乒赤２４ｍｋ一悟Ｅ＝鲁ｆｏＶｍ则原方程变为：童＋２劈＋Ｊ＝Ｖｏｃｏｓ（Ｑ丁）一只∽）（３—４’其中Ｆｏｃｏｓ（ｆ】Ｔ）＝Ｆｌｃｏｓ（１ｒ）＋Ｅｃｏｓ（ｓｑ２ｆ）＋疋ｃｏｓ（ｆ２ｚｆ）Ｆ＝丢，只伍）＝砉为应用平均法求解一阶或二阶谐波主共振响应，即Ｑ，＊ｌ或Ｑ：ａ１的情第三章单自由度模型分析况，令Ｑ，＝１—６０＂（ｉ＝１，２），占为小参数，盯为调谐参数。在相对小项前标以小参数占，将方程（３—４）写成：戈＋Ｘ＝ｄＥｃｏｓ（ｆ！。ｔ）＋Ｅｃｏｓ（ｎ：ｔ）＋Ｆｚｃｏｓ（ｆ２：ｔ）一只（Ｘ）一２斟】（３—５）取ａ，０作为新变量（分别代表振幅与相位），取以下变换：Ｘ＝ａｃｏｓ彬，工＝一ａｓｉｎ妒，妒＝Ｑ，，＋曰（３—６）将（３－５）化为标准形式：＝一Ｓ恤一出一讲卯一卉＝１一卟ｙ三ｄ，∞矿协当：黜ｙ凋：宠凇Ｙ曾ｌ臼＝＇９＋占Ｋ（ｆ，，１９）＋占２％（ｒ，，圆ｃ，吲‘’。４ｊ瓦ｄｙ２蹦（ｙ湖¨２轴搠托誓ｗ艄占’Ｉ警喝（ｙ，回＋９２２２（＂ｍ狮们占）；３－９）““其中五，Ｅ，Ｚ。，ｚ：不显含ｔ，Ｕ１，Ｕ２，Ｋ，心，ｒ＋，Ｚ＋为ｔ９的以２ｚ为周期的周期函数践＋占２Ｅ＋９３ｙ，＋ｅＯ西Ｕｌｓ百ａＵｔ（碱＋ｓ２Ｅ＋９３ｙ＊）＋占等（髓Ｉ＋ｃｅ２２２＋ｃ３Ｚ＊）＋占：孕＋占ｚ＿ＯＵ２（碣＋占：匕＋占，ｒ・）Ｏｔ钟膏等（函＋，ＣＺ２＋ｅ３Ｚ＋）＝砒∥¨应，∥ｚ：∥ｚ＋ｓ婴占警（硝膏Ｅ＋８３ｙ＊）＋占等（理。∥ｚ２＋Ｅ３Ｚ＂Ｏｔ）ＯＶｄ拶＋若：掣＋占ｚ婴（蹦＋ｓ：Ｅ＋占，Ｊ，‘）Ｏｔ洲¨２斋（露１＋占２２２＋ｅ３Ｚ＊）＝硼托２衍＾．．————————————————箜三兰一皇旦自廑蕉型坌堑（３—１０）其中丸，簖，蛾，硝为（３—７）式右端对ｓ展开的泰勒级数的系数。令等式两端占一次方的系数相等，得到：ｚ＋等＝唬互＋鲁＝簖为了使Ｋ，Ｚ，满足不显含ｔ的条件，则Ｋ２芴１舷ｄ∥ＺＩ＝去肼ｄ∥Ｕ１＝ｆ（丸一ｒ，）ｄｔ＋Ｕｊ。Ｋ：ｊ（硝一Ｚ，）ｄｔ＋巧。・墨＋等“等ｚ。＋警＝西ｃ缈ｄ．Ｖ’疗，¨ｚ：＋等巧＋嘉五＋鲁＝衍砂ｄ拶‘研～Ｅ。去Ｍ～等一一等动ｄ妒ｚ：２去胁一等ｚ一嚣ｚ．脚％＝去ｆ（一ａ砂ｕ，．～ＯａＵ拶，Ｚ。一‘矽也。Ｋ２去ｆ（卜ａ砂ｖ，ｒ．，一嚣Ｚ】吲西叱Ｘ一Ｊ∽叫ｍ｝８、一＝粥＠口）砂一以棚一出●＾＝髓＠口）（３～１２）（３—１３）（３～１４）（３—１５）（３～１６）（３—１７）从（３一１１）可以求出Ｕｌ，Ｋ：再令等式两端占２的系数相等：为了使匕，Ｚ２满足不显含，的条件，则：一次近似解是：二次近似解是第三章单自由度模型分析Ｉｘ＝ａｃｏｓ（Ｑｒ＋０）｛Ⅱ＝Ｙ＋ｅＵｌ（ｙ，ｔ，拶）Ｉ曰＝口＋ｃＶｌ（ｙ，ｔ，口）而李：占Ｉ＋占：Ｅｄｔ—ｄ—Ｏ：钇．＋占２Ｚ。击１（３—１９）。３．４第一阶谐波的主共振（ｎ．。１）令ｆｌｌ＝ｌ一盯，盯为调谐参数。且Ｑ２＝２Ｑｌ，Ｑ：＝ＺＯ．。由平均法解方程的步骤ｎＪ知，丸，靠，缟，行为（３—７）式石端对占展开的黍勒级数的系数丸＝一丢＿（ｓｉｎ（２Ｑ。卜Ｐ１９）＋ｓｉｎ（卵）一三厶（ｓｉｎ（３Ｑ．ｆ＋１９）一ｓｉｎ（Ｑ。ｆ—ｔ９））一昙厶（ｓｉｎ（（Ｚ＋１）Ｑ。ｆ＋口）一ｓｉｎ（（ｚ一１）Ｑ，ｆ一．９））一２印。ｙ（三一三ｃｏｓ（２ｆ毛ｔ＋２跏切∞簖：仃一去ｚ（ｃ。ｓ（２Ｑｌｆ＋占）＋ＣＯＳ（１９））一丢＾（ｃ。ｓ（３０】ｒ＋１９）ｚＹＺｖ＋ｃ０Ｓ（ｆ２ｌｔ－，９））一专＾（ｃ。ｓ（（ｚ十１）ｆ２１ｔ埘＋ｃｏｓ（（ｚ一１）ｑｔ－３”一髀１ｓｉｎ（２Ｑｌｒ＋２３））－ｔ－ｆＢ（ｔ）办＝【三（２卢＋口）ｓｉｎ（２Ｑｉｔ＋２０）＋（∥一ａ）ｓｉｎ（ｆ１．ｆ＋印一笋１。＋击ｃｏｓｃｆ，ｊｔ－６Ｉ沪圭聃掣舞竽＋髀・ｃｏｓ（２Ｑ！ｒ＋２印】［乏｝＿ｃ一三正（一击ｃ。ｓ（３ｆｌｄ＋３）：塑三主璺自由匡垡型坌堑＋—ｃ—ｏｓ—（—（－—１—＋—Ｚ：；）ｉｋ＇１；：ｉｌ—ｔ＝旦）一．写：１：＿ｙｃｏｓ（Ｑｌｆ＋１９）（２∥＋口）ｃ。ｓ（Ｑ１ｆ＋ｔ９）（－１７＋ｚ）Ｑｌ’２Ｑｌ一…。７、１十２（∥一口））＋：１争ｓｉｎ（２ｎｌｆ＋２０）＋．２ａ＿Ａ（卢一口）（ｙ－ａ）】十２（∥一口））＋ｊ争８ｉ“（２ｎ１‘＋＋’ｖ疗（卢一口）】＋［一吉＾（ｃ。ｓ（２ｎ，ｆ＋拶）＋ｃ。ｓ（ｔ９））一丢＾（ｃ。ｓ（３Ｑ。ｒ十印＋ｃ。ｓ（啡棚）一言五（ｃ。《ｚ＋１）Ｑｉｔ＋占）＋ｃ。ｓ“ｚ咖啡一劝＋ｙ（２ｆｌ＋ａ）ｃｏｓ（２Ｑｌｔ＋２国＋ｙ（∥一ａ）ｃｏｓ（Ｑｌｔ＋ｔ９）一２《茧ｍ１ｓｉｎ（２ｆ２ｔｔ＋２，９）］［一击／ｉＳｉｎ（２Ｑ・川）一万１拟面１ｓｍ（３ｆｋｔ＋，９）＋等ｓｉｎ（ｆ毛ｔ＋８）＋圭如（２ｑｔ＋２５）｛ｐ一石１邶叫＋高ｓｉｎ（（＿１＋ｚＨ卜劝＋笔等（ｓｉｎ（２哪Ⅵ趴Ｑｐｌ９）＋击ｓ－ｎ（叩卅））一ｆＺ（面击ｓｉｎ（（ｚ＋１）Ｑ”１９）（∥２ｆｌ—Ｔｉｒ－２≯＇３＋ｓｉｎ（２％））］衍吖专他ｏｓ（２脚旧＋ｃｏｓ（劝＋可１，２（ｃ０Ｓ（３啡删＋ｃｏｓ（ｎ２１ｔ－圆）＋。专＾（ｃ。ｓ（（ｚ＋１）Ｑ—ｆ＋．９）＋ｃｏｓ（（ｚ—１）Ｑ，卜－．９））】一三厶（一赤ｃ。ｓ（（ｚ十１）ｆ≈ｔ＋８）＋高ｃ。ｓ（（一ｌ十ｚ）ｆ毛ｔ－８”【击舾ｓ（２Ｑｐ即三斛击ｃ。ｓ（３Ｑ，Ｈ印＋击ｃ。ｓ（ｆ毛ｔ－８））～击旭∥刊ｃｏｓ（ｆ２，ｔ＋８）２一击邶训ｃｏｓ（ｆ）ｔｔ＋ｏｕ）＋三㈣ｎ（２ｆ），ｔ＋２８）３２第三章单自由度模型分析＋嚣（卢刊（ｙ－口）】＋［专舶ｉｎ（２ＱＩｆ＋即ｓｉｎ（跏～万１＾（＿ｓｉｎ（３ｆ２，ｔ＋ｏａ）１＋８ｉｎ（Ｑｌ卜８））一寺＾（一８ｉｎ（（ｚ＋１）Ｑ１ＨＪ）＋８ｉｎ（（ｚ一１）ｆ２，ｔ－ｔ９））一（２ｆｌ＋ａ）ｓｉｎ（２ｆ２Ｉｔ＋２，９）一（卢一ａ）ｓｉｎ（ｆ！ｌｆ＋口）一２孝Ｑｌｃｏｓ（２ｆ２１ｒ＋２０）】［一击＾血（２ｆ２ｔｔ＋ｏａ）一专＾（击ｓｉｎ（３ｆ２ｔｔ＋８）＋击ｓ血（ｆ２１ｔ－ｔ９））一专厶（赤ｓｉｎ（（ｚ＋１）Ｑ，ｒ＋回＋高ｓｉｎ（（－Ｉ＋Ｚ）ｆ－ｔ－８））＋击（２∥托）哇ｓｉｎ（２ｆ２一ｔ＋２，９）＋ｆ２ｔｔ＋，９）＋壶（∥训ｓｉｎ（ＱｌⅢ）＋丢细ｓ（２０ｔｔ＋２￥一ｊ１辟一石Ｉ，够刊毪一２％＋ｓｉｎ（２㈨）Ｊ由式ｆ３—１２１得军ＩＩ．＿＝一ｌｆｌｓｉｎ（１９）一舌ＱｔＹ＋Ａ（ｙ）ｚ．：仃一去工ｃ。ｓ（１９）＋塑‘ｙ，其中Ｙ和口分别是Ｕ和０的一次平均值ｆ陟ｃｏｓ劬）【Ｏ，石］ｙ∈（０，口）Ｅ＝｛ａｙｃｏｓ（妒）＋ａ（ｆｌ一口）【０，仍】Ｙ∈（口，ａ＋６）【彦ｃｏｓ（伊）一（Ｏｒ＂一ｆ１）（ｙ一口）【仍，石】彤）２去ｒ‘ｆ．（ｙｃｏｓｇ）ｓｉｎ‘丫）ｄｙ＝一去ｆ２ｆ．（ｙｃｏｓ妒）ｓｉｎ（州ＰＢ（ｙ）２去ｒ４＾（ｙｅｏｓ妒＇）ｃ。ｓ缈）ｄ妒＝击ｒ“＾（ｙｅｏｓｑ，）。？８（们咖其中仍＝ａｒｃｃｏｓ（等一１】，辔“口是图２．１４里Ｂｃ与ｘ轴的夹角，ｔｇ－Ｉ卢表１Ｆ（ｒＣＯＳ们、爿ｆｖｌ和肼ｖ、积分结果令ｙ＝２ｘ—ｐ，有：伊为自工轴起逆时针转过的角度。考虑到滞后弹性力Ｆ（砷的对称性，积分在区间［ｏ，石】进行，积分结果见表１。舳２．１４里ＡＢ与ｘ轴的夹角一紫一争伊华。。第三章单自由度模型分析ｙＦ（ｙｃｏｓ伊）ｆｌｙｃｏｓ（妒）爿（＿ｙ）Ｌ曰（，）（Ｏ，Ⅱ）Ｏ，譬ｙ【口，ｏ。）ａｙｃｏｓ（９）＋口（口～口）一２ａ（ｆｌ一口）（ｙ－ａ）寺（脚）（等却，＃ｙｃｏｓ（力一（口一ｆ１）（Ｙ一口）ｎｙ＋ｓｍ（２ｐ３）ｊ田虱Ｌ３一ｌ３ｊ口Ｊ以ｒ付出：ｕ一三一（一击ｃ。ｓ（２哪岫“ｎ（黝）一言兀（一击ｃｏｓ（３Ｑｉｔ＋，９）＋击ｃｏｓ（ｎ，ｔ－８））一三＾（一志ｃｏｓ（（ｚ＋１）ｆｌｉｔ＋国＋赤ｃｏｓ（（弘１）ｆ２１ｔ－００））一焘（２∥怕）ｃｏｓ（哪瑚）２一言（∥叫）ｃｏｓ（Ｑ”回＿２扣。哇ｆ一击ｓｉｎ（２ｑｔ＋２，９））＋三石ｓｉｎ（Ｏ）ｒ＋亩ｎ．，＋２ａｔ（∥一口）（ｙ－ａ）ＺＶ石Ｋ＝一参击ｓ叫２Ｑｔ¨回＋ｃ。ｓ（印）一万ｆｚ酉／１ｓｉｎ（ＱＩｆ－跏一岛（盎ｓｉｎ（（ｚ＋１）啡埘＋赤ｓｉｎ（３叩十∽＋击８ｉｎ（（ｚ－１）Ｑｌ’一印）＋ｊ毒（口＋２∥）（主８ｉｎ（２Ｑ１‘＋２＿９）＋Ｑ１，＋固＋等ｓｉｎ（Ｑ１ｆ＋趴丢细ｓ（２ｆ毛ｔ＋２，９）＋万ｆｌｔｃｏｓ（垆丢厣一去（ｐ训（差却３＋Ｓｉ卿３））由式（３—１５）得到艺，Ｚ２，其表达式非常复杂，见附录。我们发现，在多频激励系统发生主共振时，平均法的一次近似解中只体现一阶激励项的影响，但二次近似解中包含了各个激励项的影响。给定计算中系统参数为：∥＝Ｏ．０１，五，／ｋ＝１０，ｋｄ／ｋ＝１，Ⅳｏ／Ａ＝８０，Ｚ＝４４，占＝ｏ．Ｉ，孝＝０．５，Ｚ＝５．５，厶＝０．０１，厶＝Ｏ．１。代入二次近似方程的定常解：第三章单ｌｉｔ由度模型分析ａ＿ｙ，＝ｅｒａ（ｙ，＇９）＋占２Ｋ（ｙ，口）＝０ａｔ１芋＝厦ｌ（ｙ，回＋９２２２（ｙ，＿９）＝０ａｌ（３—２１）计算得到如图３．２（ａ）所示的幅频响应曲线（实线），点是数值精确解。可以看出，用平均法得到得的共振区内的周期解与数值解是相当接近的。但远离共振区，则有较大差别。其他参数固定时，振幅随着一阶谐波幅值＾增大而增大，但随着阻尼系数孝的增大而减小。本文的主要目的是研究千摩擦阻尼器抑制叶片振动的效果。在设计和安装时，阻尼端初压力值是较易调节控制的参数。为此，考察初压力值Ⅳ０对共振响应幅值的影响（ｋａ／ｋ＝Ｏ．５和１），见图３．２（ｂ）、（ｃ）。随着ｋ。／ｋ增大，不同正压力下的频响曲线移开较明显，且从图上可以看出ｋ。／ｋ较大时频响曲线峰值有所下降。在Ⅳ。／．厶＝３５０时，ｋ。／ｋ取不同值时曲线峰值波动较大。图３．２（ｂ）中，当Ⅳ０／．矗从Ｏ逐步增加至１ＯＯ的过程中，幅频响应曲线的峰值逐渐下降，表明干摩擦阻尼器的阻尼机制起到了消耗系统能量的作用。而当Ｎｏ继续提高后（从帆／兀＝１２０之后），阻尼器接触面的相对滑动能力会随之减弱，甚至完全不能滑动，因此对系统能量的消耗反而减小，响应幅值又会回升。至Ｎｏ／‘＝３５０时，因为ａ＝７已经大于此时的响应峰值，故阻尼器接触面已完全不能滑动。而且在眠／工逐渐增大的同时其峰值向右偏移，说明同时也使得系统的固有频率有所提高，共振时间后移。从这些现象可以得出以下结论：在给定的参数范围内，阻尼端正压力对响应的影响很明显。阻尼端正压力影响阻尼叶片的频响曲线，即影响叶片的频率、响应，并且阻尼端正压力存在一个最佳的值，在此值下阻尼叶片的阻尼最大，减振效果最好（与文献【６０】结论相同）。ｋｄ／ｋ＝Ｏ．５时，最佳压力值为“／厶＝１２０；ｋａ／ｋ＝ｌ时，最佳压力值则为Ⅳ。／厶＝２２０。通过图３．２（ｂ）、（Ｃ）的幅频曲线比较还可以看出，随着ｂ／七的增大，频响曲线峰值有所下降且偏移量增大。图３．２（ｄ）是考虑没有阻尼器的情况，振幅随着阻尼系数掌的增大而减小，即随着孝的增大幅频响应曲线趋于平滑，随着，：的增大而增大。与有阻尼器情况下幅频曲线的比较可以看出，系统的共振频率位于１附近，共振时间没有发生漂移。由图３．２（ａ）、（ｄ）可以看出阻尼系数孝，一阶谐波幅值工只是影响峰值的大小，而ｋ。／ｋ和Ⅳ０／矗还会对频响曲线的偏移量有所影响。第三章单自由度模型分析（ａ２）她５风夕≮～……～Ａ一～，Ｉ（ｂ１）一酝－Ｉ－ＮＯ＝Ｏ２－ＮＯ＝ＩＯ图３．２主共振幅频响应曲线及各参数的的影响笙三童璺自由崖蕉型坌堑３．５第二阶谐波的主共振（Ｑ：“１）在工程实际中，有很多汽轮机某级叶片固有频率与第二阶激振力的频率接近的情况，故以下考虑Ｑ：＊１时的主共振情形（Ｑ，＝丢。：，Ｑ：＝丢盈：，。。令Ｑ：＝１一盯，盯为调谐参数，推导出丸，硝，破，群为（３—７）式右端对ｓ展开的泰勒级数的系数：丸＝一ｉｉｚｓｉｎ（３ｆ）２ｔ＋∽一ｉｌｚｓｉｎ（吉Ｑ：ｆ＋ｔ９）一ｉ１＾ｓｉｎ（２Ｑ：ｆ＋圆一圭＾ｓｔｎ（。）一丢艿ｓ；ｎｎ＝ｔ＋ａ）＋圭，ｚｓ；哔Ｅｔ２ｔ－－，９）＋ｓｉｎ（ｆ１２ｔ＋圆力Ｏ）一争Ｑ２＋争ｎ２ｃｏｓ（２ｆ）２ｒ＋２８）蝣＝口一六ｚｃ。ｓ专Ｑ：Ｈ・回一六＾ｃ。ｓ（兰Ｑ２ｔ－－ｊ＋回一六五ｃ。ｓ（．９）一专＾ｃｏｓ（：Ｑ：Ｈ印一专厶ｃｏｓ（丝笋Ｑｚ卜印一专厶ｃｏｓ（堡笋Ｑ：Ｈ圆＋ｃｏ“叫枷）等母：ｓｉｎ（２ｆ如ｔ＋２，９）警一迦（－等１警奇加，，！兰！！遂竺竺＋苎：：蔓！！！竺＋—ｃｏｓ（２—ｆｂｔ＋Ｏ）＋（１＋音ｚ）Ｑ２＋｛ｚ）Ｑ２…２ｙｃ。ｓ（Ｑ：ｆ＋口）２一去Ｊ，（ｐ一口）ｃ。ｓ（Ｑ：Ｈ－圆＋ｉ１争ｓｉｎ（２ｆｋｔ＋２圆＋２。ａ一石ｔ（，８一口）（ｙ一日）］＋【一圭一ｃ。ｓ（三Ｑ：ｆ＋１９）一三ｚＶ石ＺＺＺｃ。ｓ（丢Ｑ：ｒ＋１９）Ｚ一三五ｃ。ｓ（２Ｑ：，＋ｔ９）一ｉ１五ｃ。ｓ（１９）一ｊ１以ｃ。ｓ（（１＋ｌｚ）ｎ：ｆ＋回一委六ｃ。ｓ（（一１＋ｚ）ｎ：ｆ一回＋（Ｌａ＋口）ｙｃ。ｓ（２Ｑ：ｒ＋２。９）＋ｙ（ｆｌ—ｃｒ）第三章单自由度模型分析４－。。８（Ｑ２Ｈ口）一２姻ｚ８ｉｎ（２ｆａ２ｔ＋２，９）］【一—ｓ—ｉｎ（寺矗‘２＿ｔ一：１９）１工对ｎ呸ｆ２２ｔ＋８）一三厶！！呈！磐２１±旦１ｆｚｓｉｎ（（一ｌ＋三ｚ）Ｑ扩回一专竺４归２２ｙ（－ｌ＋１ｚ）Ｑ２２ｙ型＋警ｃ言ｓｉｎ（２ｆ，２ｔ＋，９）＋扣埘，（１＋Ｚ）ｆｌ。ｆ２２、４２。。‘２‘。。’’２＋等Ｓｉｎ（ｆ２２ｔ＋，９）＋争ｓ（２Ｑｚｔ＋２０ａ）一互１卢一石１ｒ（ｆｌ刊（∥２ｆｌ一＃ｉ一２％＋ｓｉｎ（２圳】－群＝［专／ｉ（ｃｏｓ哇Ｑ：ｒ＋＇９）＋ｃ。ｓ哇ｎ：ｒ＋．９））＋互歹１＾（ｃ。ｓ（ｔ９）。＋ｃｏｓ（２Ｑ：ｆ＋圆）＋云＿厶（ｃ。ｓ（（一１＋吉ｚ）Ｃ２ｚｔ－，９）＋ｃ。ｓ（（１＋ｉ１ｚ）Ｑｚｒ＋回）】ｌｆ１ｃｏｓ（３ｆａ２‘＋Ｊ）ｆｔ３——＾——ｃｏｓ（１２ｆ＋—９）Ｑ．＾—１４——ｆ２ｃｏｓ（２—Ｃａ２ｔ＋，９）Ｑ２ｌ，ｚｃ。ｓ（（一ｌ＋互１ｚ）Ｑ２卜口）２（＝ｌ＋圭ｚ飓一去（２∥＋咖ｃｏｓ（ｋ＇１２ｌ＋８）２－－击（ｆｌ一咖ｃ。ｓ（ｆ２２ｔ＋￥）＋吉鲫ｎ（２ｆ２２ｔ＋２印＋丝ｙｚ（∥训（ｙ叫】＋【圭删ｎ哇Ｑ：，＋圆ＺＺＺ＋丢埘ｎ（３ｆ２ｚｔ＋Ｏ）＋ｉ１＾ｓｉｎ（２Ｑｚｔ＋）＋丢龙ｓｉｎ（Ｊ）一三厶ｓｉｎ（（小２Ｚ）ｆ２２ｔ－ｔ９）＋ｊ１厶ｓｉｎ（（１＋吉ｚ）Ｑ：ｆ埘一ｙ（２ｆｌ＋ａ）ｓｉｎ（２ｆ２２，＋２ｔ９）一＿ｙ（∥－ａ）ｓｉｎ（ｆｊ２ｒ＋．９）一２ｃ蛐ｚｃｏｓ（２ｆ１２ｔ＋２州一去ｓｉｎ（圭呦呐ＶＩＺ，Ｚ一击ｓ；ｎ毫Ｑ：Ｍ，一彘ｓｉｎｃｚ叼瑚，一可靠第三章单自由度模型分析ｓｉｎ（一ｌ十三ｚ）Ｑ：，一．９）一互歹靠ｓｉｎ（１＋互１ｚ）Ｑｚ，＋１９）＋考茅ｃ扣２啄啪＋扣蜊＋警ｓｉｎｃ印＋￥＋专细ｓ（２Ｑｚｍ旷专肛一砺１舻刊（筹一２％“ｎ（２㈨）】由式（３—１２）解得：＿：一昙＾ｓｉｎ（．９）一尊ｏ：＋４（力（３—２２）Ｚｚ。：盯一：一厶ｃ。ｓ（１９）＋』堕堕ＺＶＶ其中Ｙ和．９分别是“和０的一次平均值。同样由式（３一１３）得到：ｕ＝去一ｃ。ｓ（３［．２２ｔ旧＋ｃｏｓ（１Ｄ２ｔ＋ｏａ）＋去，２ｃｏｓ（２９）２ｔ＋）＋击蠹ｆｚｃｏｓ（（一Ｚ？蚴＋圆一丢矗厶ｃｏｓｃ罕邬讷一盍（２卢圳ｃｏｓ（Ｑ：Ｈ∞２一毒（∥叫ｃｏｓ（Ｑ：ｆ呐＋三争ｓｉｎ（２ｎ：ｆ＋ｚｏ）＋丝（卢一口）（ｙ－ａ）ＺＶ厅忙专岳ｓ抽扣旧岳咖扣例一击删２Ｑ２ｔ＋￥一立２ｙ（丢忘ｓｉｎ（坚塑２叩＋圆＋杀Ｚ啬２）ｎ、’ｓｉｎ（堡望２叩咖）＋、、（Ｚ＋２）Ｑ２‘。（一‘“２去（口＋２∥）哇ｓｉｎ（２ｆ２２ｔ＋２８）峨ｒ＋圆＋譬ｓｉｎ（毗印＋三孝ｃｏｓ（２Ｑ２ｔ＋２￥一吉芦一去（∥一ａ）（云笔一２％＋ｓｉｎ（２％））由式（３—１５）得到Ｅ，ｚ：非常复杂的表达式，见附录。取系统参数为：∥＝０．０１，以／ｋ＝１０，ｂ／ｋ＝１，Ｎｏ，厶＝８０，ｚ＝４４，占＝Ｏ．１，孝＝０．５，＾＝５．５，／ｉ＝０．０１，厶＝ｏ．１。代入二次近似方程的定常解害＝磷（儿卵＋占２ｒＡｙ，Ｏ）＝。警＝函（弘圆＋ｓ２２２（弘￥＝ｏ（３－－２３）计算得到如图３．３（ａ）所示的幅频响应曲线．（实线），点是数值法得到的精确解。可以看出，用平均洼得到得的其据阿内的周期锯与斯信艇旱相当第三章单自由度模型分析接近的。但远离共振区，则有较大差别。其他参数固定．时，振幅随着一阶谐波幅值厶增大而增大，但随着阻尼系数善的增大而减小。取ｋ。／ｋ＝Ｏ．５和１．０，计算得到不同初压力值的频响曲线，如图３．３（ｂ）、（ｃ）所示。可以看出，随着ｋ。／ｋ增大，不同正压力下的频响曲线移开较明显，且ｋ。／ｋ较大时频响曲线峰值有所降低。与第二阶谐波主共振的情况类似，在给定的参数范围内，阻尼端正压力对幅频响应曲线的影响很明显。如果阻尼端初始的正压力较小，那么系统的共振频率也较低，系统响应接近无干摩擦系统的响应特性。随着正压力的增大，阻尼器接触面之间阻碍相对滑动的能力也随之增强，使得系统固有频率提高，阻尼对系统能量的消耗增加。正压力增大到一定程度后，阻尼对系统能量的消耗反而降低，系统的响应接近于接触面间无相对滑动的线性系统响应，由此可以推断，一个最优的摩擦接触状态一定存在，在此状态下，系统能量消耗最大，阻尼减振效果最好。图３．３（ｄ）是没有阻尼器的情况下频响曲线的形状，振幅随着阻尼系数孝的增大而减小，即随着孝的增大幅频响应曲线趋于平滑。与有阻尼器情况下频响曲线的比较可以看出，系统的共振频率在１附近，没有发生漂移。由以上的计算分析可以看出，各系统参数对第一阶谐波和第二阶谐波的主共振幅频响应曲线的影响是一致的。３．６结论本文研究汽轮机千摩擦阻尼叶片在第一，二和Ｚ阶谐波激励下的振动，考查干摩擦阻尼器参数（主要是阻尼端初压力值）抑制叶片振动的效果。首先用平均法求出系统的第一阶和第二阶谐波的主共振稳态响应方程，然后分析主共振响应与阻尼系数，阻尼端正压力初始值，摩擦系数，阻尼器刚度及各阶激励的幅值的关系。结果表明，阻尼器刚度增大会使阻尼叶片的频率升高，并降低阻尼叶片的响应。阻尼器接触面正压力的变化会显著影响阻尼叶片的频率和响应幅值，即频率会随着正压力升高，而对于幅值，则存在一个最优的接触压力，使得幅值取得最小值。通过比较知道，各系统参数对第一阶谐波和第二阶谐波的主共振幅频响应曲线的影响是一致的。本章结果说明，要获得较好的减振效果，在实际设计中，阻尼器的刚度、接触端的正压力、粗糙度及阻尼叶片的外部激振力都是必须要考虑的因素。第三章单自由度模型分析１－ｆ２＝５．５（８１）一．Ａ（ａ２）＜ｂ１）（ｂ２）（Ｃ１）（ｄ１）（ｄ２）图３．３主共振幅频响应曲线及各参数的的影响４ｌ第四章弯扭耦合模型分析第四章弯扭耦合模型分析４．１前言在涡轮机设计、制造和运行中，对于动叶片都给予特别的重视，并为此开展了大量的研究工作。尽管如此，叶片毁坏所造成的停机事故还是不断发生。据统计，叶片毁坏所造成的停机事故占国内外全部停机事故的３０％以上。如果将叶片毁坏原因分成制造缺陷、加工装配缺陷和材料缺陷，那么设计原因是主要的。对于固定式发电机组来说，随着单机容量的直线上升，停机事故造成的损失也就急剧增加。这就给叶片设计工作者提出了更高的要求：在设计阶段中更精确地确定叶片振动的特性。为了减少流动损失和增加叶片刚性，在涡轮机中，往往采用围带和拉筋将几个叶片连接成叶片组。几个叶片与围带和拉筋组成的振动系统具有多样的振型和复杂的频谱。对于等截面叶片组振动计算，普遍地采用系数图线法。对于变截面叶片组振动计算，早在五十年代，Ｐｒｏｈｌ就曾经提出过围带叶片组的振动计算方法呻“，它忽略了切向与轴向弯曲振动的耦合，只将轴向弯曲振动与扭转振动耦合在一起，这就局限它只适用于截面的最小主形心轴与轴向重合的叶片。同时它还忽略了剪切变形、转动惯量和离心力的影响，因此无论将它用于短叶片或长叶片，计算值都不够精确。Ｄｅａｋ等提供了曾在美国ＡｌｌｉＳ—Ｃｈａｌｍｅｒｓ公司多年应用的汽轮机末级叶片组的振动计算方法哺”，它将切向振动、轴向振动和扭转三者耦合在一起，并考虑了边界叶片和中间叶片的差异以及离心力的影响。它既可用于围带叶片组，又可用于几排拉筋连接成的叶片组。由于没有考虑剪切变形和转动惯量的影响，因此用于高压级叶片时受到限制。Ｔｈｏｍａｓ等应用有限元法计算叶片组的自由振动频率¨”，。用Ｓｔｕｒｍ序列和反迭代法求矩阵的特征值和特征向量。可惜它只是考虑一个平面上的弯曲振动，也忽略了剪切变形和转动惯量的影响，几排拉筋连接成的叶片组的情况也没有考虑。林俊灿”＂采用传递矩阵法，它将叶片作为变截面梁的非对称弯曲，将扭转振动与两个平面内的弯曲振动通过拉筋耦合在一起，并作以下改进：考虑了叶片和拉筋的剪切变形和转动惯量的影响：合理地考虑了离心力的影响；在动态下计算叶片与拉筋之间的作用力和力矩，这样既提高了它的计算精度，又扩大了计算机程序的通用性。谐波平衡法是求解非线性振动问凰常用的一种近似解解析法。与其它各种摄动法不同，谐波平衡法的应用不限于弱非线性系统，此外，它第四章弯扭耦合模型分析的求解过程归结为代数方程组的求解，而其它方法则需求解微分方程组或积分一微分方程组。本文考虑了汽轮机阻尼叶片弯曲和扭转的耦合，用谐波平衡法对建立的方程进行了分析，同时考虑Ｑ。＝ｑ和Ｑ：＝０３。的情况下模型的动力特性，特别是分析了参数对幅频曲线的影响。所得结论可以指导工程实际。４．２弯扭模型的建立考虑如图４．１所不的弯曲和扭转耦合模型，叶片用质量块历来表不，阻尼器用无质量的弹簧和摩擦元件表示，图中采用了两个并联的阻尼器［６５１，当叶片受稳态激励ｆｏｃｏｓ（ＣＯＴ）和力矩ｍ。ｃｏｓ（ｃｏＴ）时，叶片的运动方程为：Ｉｍ茧＋ｃ－２＋缸＋正１＋五２＝ｆ０ｃｏｓ（ｃｏｔ）１Ｌ≯＋ｑ痧＋红妒＋六１ｉｌ一厶２ｉｌ＝ｍ０引入无量纲化变量：ｘｃｏｓ（ｃｏｔ）（４＿１），砜ｒ㈡２言，拈乓ｍｃｏ；ｌ，ｎ，＝罟ｎｌ，萏２赤ｍｋ∽，２佶ｍ，弘詈，国√Ｖｐ万２景焉２焘一：＝居吒＝鲁一盟ｍｏ—ｉ（Ｏｎｌ则方程（４．１）变为：ｆ置＋点力１＋ｘＩ＋‰＋Ｅ２＝Ｆｏｃｏｓ（ＱＴ）１攒：＋劈：鼻：城岷寺一ｃ：妻：Ｍ。。。。（叩在机组运行过程中，汽轮机叶片将不可避免地受到气流激振力作用。激振力是叶片动力响应分析的前提，也直接关系到叶片的安全运行。在激振力的各阶谐波分量中，影响叶片安全运行的激Ｈ＿２’振力一般是接近叶片自振频率的分量，其他分量虽使叶片做强迫振动，但动力响应远比前者小［５９１。因此，我们只需考图４．１弯扭耦合模型虑接近叶片自振频率的激振力谐波分量。塑婴童变塑塑盒堡型坌堑——————考虑对汽轮机叶片振动影响大的激振力第一，第二和第Ｚ阶谐波分量（Ｑ２＝２Ｑｌ，Ｑｚ＝ＺＱｌ）：＾ｃｏｓ（ｍｒ）＝／ｉｅｏｓｈ，）＋五ｃｏｓ如ｋ丁）＋五ｃｏｓ（ｃＤ：Ｔ）ｍ。ｃｏｓ白ｒ）＝ｍｔｃｏｓ（ｍｔＴ）＋ｍ２ｃｏｓ（ｃ０２ｒ）＋ｍ：ｃｏｓ（ｃｏ：Ｔ）（４—３）所以有Ｆ０ｃｏｓ（ｆｌＴ）＝Ｅｃｏｓ（ＱＪＴ）＋疋ｃｏｓ（ｆ２２Ｔ）＋疋ｃｏｓ（ｆ２ｚＴ）Ｍｏｃｏｓ（ＱＴ）＝Ｍｌｃｏｓ（ｆ２ｌＴ）＋Ｍ２ｃｏｓ（ｆ２２Ｔ）＋Ｍｚｃｏｓ（ｆ２ｚＴ）（４—４）Ｆ：五，材．：旦‘‘／ｏｍｏ＾。，无：为接触面摩擦力，如果将阻尼端正压力Ⅳ在叶片振动过程中的变化考虑进去（设为线性变化），则摩擦力厶与相对位移ｚ形成如图２．１４所示的迟滞回线［５”，其关系如式（２—１８）。用谐波平衡法对摩擦力进行处理：在保证精度的情况下取一阶谐波，摩擦力经傅立叶级数展开取前两项得到：｛，＝｛ｃＣＯＳ３七｛ｓｓｉｎ８一ｆｓ。Ｓｃｏｓ．ａ＋击ｍｓ哟＝扣去主，“叫’上式中正＝昙ｒ＾ｃ。ｓ－射口＝昙［丢ｋ。ｓ＋ｚ肛，ｓ扣＋＋‘（２∥。一定一ｓ）ｓｔｎ占＋＋Ｉ（ＫａＳ＋２以ｓ）ｓｉｎｚ．９＋一吉删捌正＝昙ｒ＾ｓｉｎ黝拶＝昙哇敝。ｓ＋２越，ｓ）一亿ｓ＋；ｋａｓ＋２肼，ｓ）ｃ。ｓ２占＋（４—６）一（２掣Ｖｏ—ＫｄＳ）ｃｏｓ，９’】故加鲁（”≯１）＋去（毫宁ｌｚ），工ｚ＝每“一弘１）＋去（南％２—ｆｆ．１（Ｘ１＋妻五）２去瞬辱五畦鲁≯＋％墙墨＋ｉ１百Ｌｍｏ丽ｍｏ删‘ｃ。吲’＝ＱＩＸＩ＋Ｇｘ２＋Ｑ３墨＋奶名２４４第四章弯扭耦合模型分析％＝—●々／：，２（ｚ。一Ｌ．Ｘ２）２去唼卑午三等詈¨＋面ｆ＊ｚ。．丽ｆｏ—ｔ．ｉ１百Ｌｍｏ丽ｍｏ鼢】（４－－８）＝Ｒ１ｘｌ—Ｒ２Ｘ２＋月，墨一Ｒ４膏２其中：９２惫，Ｑ＝三去鲁等詈，ｇ＝习赢ｆｓｌ两，幺＝去圭等最耻惫如＝三去鲁鲁詈，岛２习萧ｉｓ２画心２去三争焘方程组（２）可以写为：Ｘｌ＋晶工ｌ＋Ｘ１＋Ｑ１ｘｌ＋Ｑ２ｘ２＋Ｑ３２ｌ＋Ｑ４力２＋尺ｌＸＩ—Ｒ２Ｘ２＋Ｒ３墨一Ｒ４只２＝Ｅｃｏｓ（ｎｌＴ）＋Ｅｃｏｓ（ｆ２２ｒ）＋ｒｚｃｏｓ（ｆ２ｚ丁）占２碧：＋鸳：ｊ：＋卫：＋（Ｑｌｘ．＋Ｑ：Ｘ：＋Ｑ３Ｘ。＋Ｑ．２：）ｉＬ一（月。Ｘ１一Ｒｚ石：＋皿ｊ．一Ｒ。膏：）姜＝Ｍ１ｃｏｓ（ｆ２ｌＴ）＋Ⅳ２ｃｏｓ（ｆ２２Ｔ）＋Ｍｚｃｏｓ（Ｑｚｒ）把方程（４—７）简化后得：墨＋ＮＩＸｌ＋Ⅳ２五２＋Ⅳ３置＋Ⅳ４肖２＝Ｅｃｏｓ（ｆ２Ｉｒ）＋最ｃｏｓ（Ｑ２Ｔ）＋Ｆｚｃｏｓ（Ｑｚｒ）ｄ２２２＋只ｘ２＋尸２ｘＩ＋Ｐ３Ｘ２＋只ｚｌ＝Ｍｌｃｏｓ（Ｏｌｒ）＋＾彳２ｃｏｓ（ｆ２２丁）＋＾如ｃｏｓ（ｆ２ｚｒ）‘（４—１１）其中：Ⅳｌ２最＋Ｑ３＋Ｒ３，Ｎ２＝Ｑ４一Ｒ４，Ｎ３＝１＋鸟＋Ｒ１，Ｎ４＝Ｑ２一Ｒ２鼻２鹄＋Ｑ４詈屿专，只＝Ｑ３砉一玛孝，Ｂ＝１＋９２ｉＬ蝎喜。只＝ＱＩ詈－Ｒ１专由谐波平衡法可以设解为：ＸＩ（Ｔ）＝Ａｌｃｏｓ（９２ｌ丁）＋日ｓｉｎ（Ｏｌ丁）＋Ａ２ｃｏｓ（９２２ｒ）＋Ｂ２ｓｉｎ（ｆ２２，）。＋Ａｚｃｏｓ（ｆ２ｚＴ）＋Ｂｚｓｉｎ（ＱｚＴ）ＸＡＴ）＝ＣＩｃｏｓ（ｆ１１ｒ）＋ＤＩｓｉｎ（ｎｌｒ）＋Ｃｚｃｏｓ（ｆ】２丁）＋Ｄ２ｓｉｎ（Ｑ２ｒ）＋Ｃｚｃｏｓ（ＱｚＴ）＋Ｄｚｓｉｎ（ｆ／ｚＴ）把启。（丁），置（ｒ），岩：（丁），ｊ：（ｒ）求出代入方程组（４—７），使等式两端同次谐波的系数相等，整理得出各阶谐波分量的方程组。蔓婴童变垫塑盒堕型坌塑——４．３考虑一阶谐波Ｑ，＝１（其中有０９ｎ，＝％，）此时有Ｑ：＝２Ｑ，，Ｑ：＝Ｚｎ，，带入式（４—１２）用谐波平衡法进行分析。４．３．１用谐波平衡法解方程由一阶谐波系数相等得到：～ＡｔＱ；＋３Ｉｌ蜀ＱＩ＋Ｎ２ＤｊＱＩ＋Ｎ３ＡＩ＋Ⅳ４ｃＩ＝Ｅ～ＢｌＱ；一ＮｌＡｌＱｌ—Ｎ２ｃ１ＱＩ＋Ｎ３８１＋Ⅳ４Ｄ１＝０一占２ｃｌＱ：＋只ＤＩＱＪ＋尸２ＢＩＱｌ＋Ｂｃｌ＋只４＝Ｍ一万２Ｄ，Ｑ；一只ｃ１Ｑ，一只０１Ｑ。＋忍Ｄｌ＋只Ｂｌ＝０由二阶谐波系数相等得到：（４—１３）－４．４２Ｑ；＋２ＮＩＢ２Ｑｌ＋２Ｎ２Ｄ２ＱＩ＋Ⅳ３—２＋Ⅳ４ｃ２＝Ｅ一４８２Ｑ；－２ＮｌＡ２ｎｌ－２Ｎ２Ｃ２Ｑｌ＋Ｎ３８２＋Ｎ４Ｄ２＝０—４６２Ｃ２Ｑ；＋２只Ｄ２Ｑｌ＋２只呸Ｑｌ＋只ｃ２＋只爿２＝Ｍ２—４５２Ｄ２Ｑ；～２Ｅｃ２Ｑ１—２马Ａ２Ｑｌ＋只Ｄ２＋Ｐ４８２＝０由Ｚ阶谐波系数相等得到：（４一１４）一ｚ２ＡｚＱ；＋ｚⅣＩ岛ＱＩ＋ｚⅣ２Ｄ２ＱＩ＋Ⅳ３４ｚ＋＾ｒ４ｃｚ＝兄一Ｚ２ＢｚＱ；一ｚⅣＩＡｚＱＩ—ＺＮ２ＣｚＱＩ＋Ⅳ３易＋Ⅳ４Ｄｚ＝０—６２２２ＣｚＱ；＋ｚ只ＤｚＱｌ＋ｚｌＰ２ＢｚＱｌ＋马ｃｚ＋只一ｚ＝Ｍｚ—ｄ２２２ＤｚＱ；一ｚＢｃｚＱｌ一ｚＰ２彳ｚＱｌ＋ＢＤ２＋只丑２＝０各个系数的表达式很复杂，见附录。（４一ｌ５）由方程（４—９，１０，１１），可分别解得：４ｌ，Ｂ１，Ｃ１，Ｄｌ；Ａ２，Ｂ２，Ｃ２，Ｄ２和４ｚ，丑２，ｃｚ，Ｄｚ。故可以得到Ｘ。（，），五（，）：ＸＩ（丁）＝Ａｔｃｏｓ（ＱＩ丁）＋Ｂｊｓｉｎ（ｎｌ丁）＋Ａ２ｃｏｓ（２９／１丁）＋Ｂ２ｓｉｎ（２ＱＩＴ）＋彳ｚｅｏｓ（ＺＱｌｒ）＋Ｂｚｓｉｎ（ＺＱＩ丁）（４—１６）工２（ｒ）＝Ｃ１ｃｏｓ（Ｑ１Ｔ）＋Ｄ１ｓｉｎ（Ｑ１ｒ）＋Ｃ２Ｃ０３（２Ｑｌｒ）＋Ｄ２ｓｉｎ（２ｆｊｌＴ）＋Ｃｚｃｏｓ（ＺＱｌＴ）＋Ｄｚｓｉｎ（ＺＱｌｒ）给定系统参数为：ｍ＝１，ｋ＝１，也＝１，Ｊ；＝１，兀＝１，珊ｏ＝１，占＝１，∥＝Ｏ．０２，≈ｄ＝０．５，旯。＝１０，Ｎｏ＝６，Ｚ＝４４，孝＝Ｏ．５，Ｅ＝２，Ｆ２＝Ｏ．０１，疋＝Ｏ．１，Ｍ１＝２，村，＝０．ＯＩ，Ｍ，＝Ｏ．Ｉ代入方程（４一１６）计算得到激励力幅值和阻尼器参数对叶片幅频曲线的影响，见图４．２第四章弯扭耦合模型分析（ａ１）（ｂ１）（ｃ１）（ａ２）（ｂ２）（ｃ２）４７第四章弯扭耦合模型分析（ｅ１）（ｅ２）（ｆ１）（ｆ２）图４．２各参数影响下的幅频响应曲线第四章弯扭耦合模型分析由图４．２可以看出各个主要参数对幅频曲线的影响是很明显的。当其他参数固定时，振幅随着一阶谐波幅值鼻、Ｍ。增大，随着阻尼系数茧，岛的增大而减小。但在给定参数下，丘的幅值总是比Ｘ．的值大。为了验证剪切刚度ｋ。对响应并，，ｚ：的影响，给定ｋｄ两个不同的值，ｋ。＝０．５，“＝Ｏ，８。在不同ｋ情况下取了３个不同的初压力值，结果如图４．２（ｅ）、（ｄ）所示，如果ｋ。，增大．不同正压力下的频响监线移开较明显，且从图上可以看出ｋ。较大时频响曲线峰值反而下降。在图４，２ｆｄ）中，当Ｎｏ＝６时频响曲线的，峰值较高。当Ｎｏ＝３０时频响曲线的峰值降低，但是当Ｎ。＝６０时峰值回升很多，同时其峰值向右偏移，表明共振时间滞后。从这些现象可以得出以下结论：在给定的参数范围内，阻尼端正压力对响应的影响很明显。阻尼端正压力影响阻尼叶片的频响曲线，即影响叶片的频率、响应，并且阻尼端正压力存在一个最佳的值，在此值下阻尼叶片的阻尼最大，减振效果最好。图４．２（ｅ）、（ｆ）同样显示随着ｋ。的增大频响曲线峰值降低，且幅频曲线向右偏移。且Ｅ，Ｍ，的值增大使得幅频曲线中出现了两个峰值。４．３．２通过数值解进行比较图４．３～４．７中的点为数值解，线为解析解，显示出解析解的准确性。图４．３第四章弯扭耦合模型分析图４．４图４．５图４．６图４．７第四章弯扭耦合模型分析４．４考虑二阶谐波Ｑ：＝１此时有Ｑ，＝三Ｑ：，９。＝吾Ｑ：，带入式（４—１２）用谐波平衡法进行求解。４．４．１谐波平衡法解方程由一阶谐波系数相等得到：叫譬＋ＮｌＢｌ－鲁－＋Ⅳ２ＤＩ－譬－－＋Ｎ３－４１＋Ⅳ４ＣＩ＝鼻喝等一ＭＤ２２Ｎ：ｃｌ导＋Ｎａ马＋Ⅳ４Ｄｌ＝。∥ｃ１垡４＋Ｂｑ孚＋Ｐ２ＢＩ－譬－郴心ｍＩ＝Ｍ一占２ＤＩ譬一Ｅｃｌ导一只４粤＋Ｂ日＋只骂＝。由二阶谐波系数相等得到：一Ａ２Ｄ；＋Ⅳ１占２Ｑ２＋Ⅳ２Ｄ２Ｑ２＋Ⅳ３爿２＋Ⅳ４ｃ２＝Ｅ—Ｂ２Ｑ：一ＮＩＡ２Ｑ２一Ｎ２Ｃ２Ｑ２＋州Ｂ２＋＿Ⅳ４Ｄ２＝０一万２ｑＱ；＋ＰＩＤ２ｆ２２＋尸２８２Ｑ２＋Ｂｃ２＋只一２＝Ｍ２一Ｊ２见Ｑ；一ｐ，ｃ２Ｑ２一只彳２Ｑ２＋６０２＋只Ｂ２＝０’一；也Ｑ；＋ＺＮｌＢｚＣ２２＋ＺＮ：见Ｑ：＋Ｍ如＋Ｎ４Ｃｚ＝兄一百Ｚ２ＢｚＱ２２Ｚ。ＮＩＡｚＱ２－ＺｚＮ２ＣｚＤ２＋Ｎ３Ｂｚ＋Ｎ４Ｄ１＝ｏ搿等ｃ捌＋导鼻见吣詈Ｂ瞩＋ＢＣｚ＋驰也一占２百Ｚ２见Ｑ２２一Ｚｐｉｃｚ呸Ｚｐ，彳ｚＱ２＋只。ｚ＋只Ｂｚ＝０由方程（４—１７，１８，１９）可分别解得：Ａ１，马，Ｃ１，Ｄｉ；Ａ２，Ｂ２，Ｃ２，Ｄ２和Ａｚ，Ｂｚ，Ｃｚ，Ｄｚ。故可以得到ｚ．ｍ．丑∽：５ｌ（４—１７）（４—１８），（４一１９）第四章弯扭耦合模型分析ｘ，（Ｄ＝４ｃｏ《譬ｒ）＋Ｂｌｓｉｎ（号－ｒ）＋４：ｃｏｓ（Ｑ：ｒ）＋Ｂ２ｓｉｎ（Ｉ＇ｌ：，）＋Ａ：ｃｏｓ（Ｚｆｌ：即＋Ｂｚｓｉｎ（手叩）引耻ｃｌｃｏｓ（孚ｍ。，ｓｉｎ（－警Ｔ）＋Ｃ２ｃｏｓ（ｔｑ：丁）（４—２０）＋Ｄ２ｓｉｎ（ｆ２：７１）＋ｃ：ｃ。ｓ（吾ｎ：ｎ＋。：ｓｉｎ（詈ｎ：ｒ）给定系统参数为：ｍ＝１，ｔ＝１，ｋｃ＝ｌ，』。＝１，ｆｏ＝１，ｍｏ＝１，占＝１，∥＝０．０２，ｋｄ＝Ｏ．５，＾，＝１０，Ｎｏ＝６，ｚ＝４４，孝＝ｏ．５，Ｅ＝２，曩＝０．０１，疋＝０．１Ｍ２＝２，Ｍ。＝０．０１，Ｍ：＝０．１代入方程（４—２０）计算得到主要的系统参数在其它参数固定的时对幅频曲线的影响。（ａ１）（ａ２）（ｂ２）第四章弯扭耦合模型分析（ｃ１）（ｅ１）（ｃ２）（ｅ２）５３第四章弯扭耦合模型分析（ｆ】）图４．８各参数对幅频曲线的影响由图４．８可以看出各个主要参数对幅频曲线的显著影响。其他参数固定时，振幅随着二阶谐波幅值Ｅ、Ｍ，增大而增大，随着阻尼系数点，岛的增大而减小，但是在参数一定的情况下，ｘ，的幅值总是比Ｊ。的值大。为了验证剪切刚度ｋ。对响应Ｘ，的影响，给定ｋ。两个不同的值，ｔ。＝ｏ．５，ｋａ＝０．８。在不同ｋ。情况下取了３个不同的初压力值，结果如图４．８（ｃ）、（ｄ）所示，如果屯增大，不同正压力下的频响曲线移开较明显，且从图上可以看出亿较大时频响曲线峰值下降。图４．８（ｃ）中，当Ｎ。＝６时频响曲线的峰值较高。当Ⅳ。＝３０时频响曲线的峰值反而降低，但是当Ｎｏ＝６０对峰值回升很多，同时其峰值向右偏移，说明共振时间后移。从这些现象可以得出以下结论：在给定的参数范围内，阻尼端正压力对响应的影响很明显。阻尼端正压力影响阻尼叶片的频响曲线，即影响叶片的频率、响应，并且阻尼端正压力存在一个最佳的值，在此值下阻尼叶片的阻尼最大，减振效果最好。４．４，２通过数值解的比较图４．９Ｘｌ和Ｘ２的时间历程（Ｑ２＝０．６，ｋｄ＝０．５，Ｎｏ＝６，Ｒ＝Ｍ２＝２）第四章弯扭耦合模型分析图４．１０Ｘ１和ｘ２的时间历程（Ｑ２＝０．９，．ｋｄ＝０．５，Ｎｏ＝６，Ｅ＝Ｍ２＝２）图４．１１Ｘ１和Ｘ２的时间历程（Ｑ２＝１．６，ｋａ＝０．５，Ｎｏ＝６，Ｅ＝Ｍ２＝２）Ｘ１和Ｘ２的时间历程（Ｑ２＝１．５，ｋａ＝０．５，Ｎｏ＝３０，Ｅ＝Ｍ２＝２）图４．１４一趣第四章弯扭耦合模型分析＝；蹶‘＝；㈣ｊ黼三嗣第四章弯扭耦合模型分析图４．１９ｘ１和Ｘ２的时间历程（ｎ：＝１．０５，％＝０．５，Ｎｏ＝３０，Ｅ＝Ｍ２＝２，Ｅ＝Ｍ＝１）图４・２３ｘｌ和Ｘ２的时间历程（Ｑ２＝１．６５，ｋｄ＝０．８，Ｎｏ＝８０，只＝Ｍ２＝２，曩＝Ｍｌ＝１）通过分析各图，验证了理论解的准确性。具体如下：图４．９～４．１１中Ｘ１，Ｘ２时间历程的幅值与图４．８（ａ）曲线１中相应的幅值很接近（Ｑｌ＝０．６，Ｑｌ＝０．９，Ｑ．ｓ１．６）；图４．１２～４．１４中Ｘ１，Ｘ２的时间历程的幅值与图４．８（ｃ）曲线２中相应５７第四章弯扭耦合模型分析各点的幅值很接近（Ｑ。＝０．６，ＱＩ＝１，Ｑｌ＝１．５）：图４．１５～４．１７中Ｘ１，Ｘ２的时间历程的幅值与图４．８（ｄ）曲线３中相应各点的幅值很接近（Ｑ。＝０’８，Ｑ。＝１．１５，Ｑ．＝１．６５）。图４．１８～４．２０中Ｘ１，Ｘ２的时间历程的幅值与图４．８（ｅ）曲线２中相应各点的幅值很接近（ｎ，＝ｏ．５，Ｑ。＝１．０５，Ｑ。＝ｌ，６５）。图４．２１～４．２３中ｘ１，ｘ２的时间历程的幅值与图４．８（ｆ）曲线３中相应各点的幅值很接近（Ｑ，＝ｏ．６５，Ｑ，＝１．１５，Ｑ．＝１．６５）。４．５结论本章研究弯曲扭转耦合情况下的汽轮机叶片模型，建立了弯扭耦合方程，并分析两个阻尼器并联时模型的动力特性，摩擦力将阻尼端正压力Ⅳ在叶片振动过程中的变化考虑进去（设为线性变化）。运用谐波平衡法对运动方程进行分析，分别求出一阶谐波Ｑ，＝ｌ和二阶谐波Ｑ，＝ｌ的稳态解，然后分析阻尼系数，阻尼端正压力初始值，摩擦系数，阻尼器刚度及各阶激励的幅值与频响曲线的关系。结果表明，阻尼器刚度增大会使阻尼叶片的频率升高，并降低阻尼叶片的响应。阻尼器接触面正压力的变化会显著影响阻尼叶片的频率和响应幅值，即频率会随着正压力升高，而对于幅值，则存在一个最优的接触压力，使得幅值取得最小值。通过与数值解的比较知道解析解的准确性。第五章全文总结第五章全文总结本文从叶片阻尼机理和叶片激振力的分析建模，单自由度和弯曲扭转耦合阻尼叶片运动方程的建立，分析等方面，对阻尼叶片非线性动力特性进行了计算分析，得出了很有意义的成果。１．研究了阻尼叶片的阻尼机理，给出了叶片各种阻尼的产生机理及数学模型。着重研究了干摩擦阻尼产生的机理，及其对叶片振动能量消耗的机制。推导出了各种摩擦模型下的摩擦力的表达式，并利用谐波平衡法对摩擦力进行了合理的简化以有利于理论分析。２．多频激振力下单自由度阻尼叶片的动力特性研究。应用平均法求出了叶片运动方程的解析解，并分析了系统参数，主要是阻尼器参数如阻尼端正压力、摩擦面剪切刚度、摩擦系数，以及激振力的大小等，对阻尼叶片的动力特性的影响规律。并通过数值解的比较验证由解析解得出的结论。３．弯曲扭转耦合模型的建立和动力特性分析。考虑弯曲扭转耦合情况下阻尼叶片的力学模型，建立阻尼叶片的运动方程，采用谐波平衡法对其进行分析，得出了阻尼器和激振力参数对叶片动力特性的影响规律。对多频激励下阻尼叶片的动力特性的理论研究，目前做的工作不是很多。本文的研究虽然还只是初步的，但得出了一些对实际应用有意义的结论。阻尼叶片的动力学特性有着很丰富的内容，其中蕴涵着大量的现象需要研究，还有很多领域的工作未能展开，需要做更进一步的研究。１．用三维有限元实体模型模拟阻尼叶片，对叶片和阻尼结构进行更加精确的描述。随着计算机技术的迅速发展和计算机计算速度的提高，这项工作会在不久的将来得以实现。２．对阻尼叶片进行整圈计算，即对整圈叶片进行网络剖分，建立有限元方程，然后求解方程。现在的模型认为叶片的边界条件为周期性边界条件，这样假设不可避免的漏掉某些模态，给计算带来了误差，如果整圈计算就可以避免此问题。整圈计算的难题主要是在计算量及判断解是否收敛上。３．在实验研究上，要用真实的叶片进行研究，最好在动平衡机上做，可以获得叶片的重要参数，得到的结果将对理论分析和叶片设计具有极为重要的价值。参考文献参考文献１．杨海光，汽轮机叶片安全准则的研究，扔微乙穆溯，１９８３，１９（４）２．ＢａｔｅｓＲ．，ｅｆａ１．ＳｔｅａｍＴｕｒｂｉｎｅＢｌａｄｅｓ：ＣｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｉｎＤｅｓｉｇｎａｎｄａＳｕｒｖｅｙｏｆＢｌａｄｅＦａｉｌｕｒｅｓ，ＥＰＲＩＲｅｓｅａｒｃｈＲｅｐｏｒｔ，１９８１３．Ｗｕ—ＹａｎｇＴｓｅｎｇ．Ｕｎｔｗｉｓｔｉｎｇｏｆｔｈｅ３１Ｍｏｄ７ＲｅｔｒｏｆｉｔＢｌａｄｅａｎｄｔｈｅＥｆｆｅｃｔｏｆＣ０ｎｓｔｒａｉｎｉｎｇｕｎｔｗｉｓｔ，ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＲｅｐｏｒｔＥＭ一１３１４，盼ｓｔｉｎｇＨｏｕｓｅＥ１０ｅｔｒｉｃＣｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ，１９７３４．Ｂｅａｒｄｓ．Ｃ．Ｆ＆Ｗｉｌｌｉａｍｓ．Ｊ．Ｌ，ＴｈｅｄａｍｐｉｎｇｏｆＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＶｉｂｒａｔｉｏｎｂｙＲｏｔａｔｉｏｎａｌＳｌｉｐｉｎＪｏｉｎｔｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＨｂｒａｔｉｏｎ，１９７７，５３（３）．３３３Ｎ３４０５．黄永东译，新２６英寸末级叶片的可靠性和经济性，衣方汽轮扔，１９９４，ＮＯ．３～４，３ｌ～４３６．李小华，汽轮机长叶片振动特性及响应的研究，西安霓透７ｔ．学砑±趁史ｊ１９９４７．村田肇等，日本汽轮机剩余寿命诊断和延长使用寿命的措施，燕力叠萤砬≠蒡俎，１９９２，ＮＯ．６，６９～８３８．李辛毅，季葆华，盂庆集，采用整体围带或翅翼型凸肩提供摩擦阻尼的叶片典型结构，垮花沈茹专褊１９９６，３８（４），２１７～２２ｌ９．Ｅ．Ｗａｔａｎａｂｅ等，张云燕译，高效安全的新型低压末级自带围带叶片，务方圪轮扣，１９９４，３～４，５９～６９１０．周宏利等，３００ＭＷ优化机组自等围带预扭叶片设计，汽轮扣友刁ｅ’１９９２，３４（３），１～４１１．李小华，汽轮机长叶片振动特性及响应的研究，西安交通大学硕士论文，１９９４１２．Ｊ．Ｔ．Ｏｄｅｎ，Ｅ．Ｂ．Ｐｉｒｅｓ。ＮｏｌｏｃａｌａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＦｒｉｃｔｉｏｎＬａｗｓａｎｄＶａｒｉａｔｉｏｎａｌＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｆｏｒＣｏｎｔａｃｔＰｒｏｂｌｅｍｓ；ｉｎＥｌａｓｔｉｃｉｔｙ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ１９８３，５０（１），６７～７６１３．Ａ．Ｖ．Ｓｒｉｎｉｖａｓａｎ，Ｂ．Ｎ．Ｃａｓｓｅｎｔｉ，ＡＮｏｎｌｉｎｅａｒＴｈｅｏｒｙｏｆＤｙｎｊｍｉｃＳｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈＤｒｙＦｒｉｅｔｉＯｎＦｏｒｃｅｓ．ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｉｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｏｒＧａｓ７ｕｒｂｉｎｅｓａｎｄＰｏｗｅｒ，１９８６，１０８（３），５２５～５３０１４．Ｃ．Ｈ．Ｍｅｎｑ，Ｊ．ＢｉｅｌａｋａｎｄＪ．Ｈ．Ｇｒｉｆｆｉｎ，ＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆＭｉｃｒｏｓｌｉｐｏｎＶｉｂｒａｔｏｒｙＲｅｓｐｏｎｓｅ，Ｐａｒｔｌ：ＡＮｅｗＭｉｃｒｏｓｌｉｐＭｏｄｅｌ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｄｂｒａｔｉｏ＆１９８６，１０７（２），２７９～２９３１５．Ｃ．Ｈ．Ｍｅｎｑ，Ｐ．ＣｈｉｄａｍｐａｒａｍａｎｄＪ．Ｈ．Ｇｒｉｆｆｉｎ，ＦｒｉｃｔｉｏｎＤａｍｐｉｎｇｏｆＴｗｏＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＭｏｔｉｏｎａｎｄｉｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎＶｉｂｒａｔｉｏｎＣｏｎｔｒｏｌ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９１，１４４（３）。４２７～４４７１６．Ｃ．Ｈ．Ｍｅｎｑ，Ｊ．Ｈ．Ｇｒｉｆｆｉｎ，ＡＣｏｍｐａｒｓｉｏｎｏｆＴｒａｎｓｉｅｎｔａｎｄＳｔｅａｄｙＳｔａｔｅＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉＳｏｆｔｈｅＦｏｒｃｅｄＲｅｓｐｏｎｓｅｏｆａＦｒｉｃｔｉｏｎａｌｌｙＤａｍｐｅｄＢｅａｍ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶ２＂ｂｒａｔｆｏｒｔ，Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，Ｓｔｒｅｓ＆ａｎｄＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｉｎＤｅｓｉｇｎ，１９８５，Ｖ０１．１０７（１），１９～２５１７．ＳｒｉｎｉｖａｓａｎＡ．Ｖ．，ＣｕｔｔｓＤ．Ｇ．，ＤｒｙＦｒｉｃｔｉｏｎＤａｍｐｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｓｍｓｉｎＥｎｇｉｎｅｓＢｌａｄｅ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｏｒＰｏｗｅｌ％１９８３，１０５（２），３３２～３４１参考文献１８，任勇生等，带凸肩叶片的稳态响应计算及其阻尼减振分析，振动工程学报，１９９４，７（２），１０３～１１１１９．Ｎａｙｆｅｎ，Ａ．Ｈ，ａｎｄＭｏｏｋ，Ｄ．Ｔ．，ＮｏｎｌｉｎｅａｒＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ。ＪｏｈｎＷｉｌｅｙａｎｄＳｏｎｓ，ＮｅｗＹｏｒｋ，１９７９２０．Ｃ．Ｐｉｅｒｒｅ，Ａ．Ａ．Ｆｅｒｒｉ，Ｅ．Ｈ．Ｄｏｗｅｌｌ，Ｍｕｌｔｉ—ＨａｒｍｏｎｉｃＡｎａｌｙｓｉＳｏｆＤｒｙＦｒｉｃｔｉｏｎＤａｍｐｅｄＳｙｓｔｅｍｓＵｓｉｎｇａｎＩｎｃｒｅｍｅｎｔａｌＨａｒｍｏｎｉｃＢａｌａｎｃｅＭｅｔｈｏｄ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，１９８５，５２（４），９５８～９６．４２１．Ｊ．Ｈ．Ｗａｎｇ，Ｗ．Ｋ．Ｃｈｅｎ，ＩｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＶｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａＢｌａｄｅｗｉｔｈＦｒｉｃｔｉｏｎｄａｍｐｅｒｂｙＨＢＭ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒＪｎｇｆｏｒＧａｓＴｕｒｂｉｎｅｓａｎｄＰｏｗｅｒ，１９９３，１１５（２）：２９６～２９９２２．Ｔ．Ｍ．Ｃａｍｅｒｏｎ，Ｊ．Ｈ．Ｇｒｉｆｆｉｎ，ＡｎＡ１ｔｅｒｎａｔｉｎｇＦｒｅｑｕｅｎｃｙ／ＴｉｍｅＤｏｍａｉｎＭｅｔｈｏｄｆｏｒＣａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅＳｔｅａｄｙ—ｓｔａｔｅＲｅｓｐｏｎｓｅｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓＳｙｓｔｅｍｓ，ＡＳＭＥ．ＪｂＵｒｎａＩｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓＳｙｓｔｅｍｓ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ１９８９，５６（１），１４９～１５４２３．Ｒ．Ｋｉｅｌｂ，Ｊ．Ｈ．Ｇｒｉｆｆｉｎ，Ｃ．Ｈ．Ｍｅｎｑ，ＥｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆａＴｕｒｂｉｎｅｏｆａＴｕｒｂｉｎｅＢｌａｄｅＤａｍｐｅｒＵｓｉｎｇａｎＩｎｔｅｇｒａｔｅｄＡｐｐｒｏａｃｈ．ＡＩＡＡ８８—２４００，ＡＩＡＡ／ＡＳＭＥ／ＡＳＣＥ／ＡＨＳ．２９ｔｈＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，Ｓｔｒｕｃｔｒｕａｌ‘ＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＭａｔｅｒｉａｌｓＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，Ｗｉｌｌｉａｍｓｂｕｒｇ，ＶＡ／Ａｐｒｉａｌ１８～２０，ｔ９８８２４．Ｍ．Ａ．Ｐｒｏｍ。ＡＭｅｔｈｏｄｆｏｒＣａｌｃｕｌａｔｉｎｇＶｉｂｒａｔｉｏｎＦｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄＳｔｒｅｓｓｏｆａＢａｎｄｅｄＧｒｏｕｐｏｆＴｕｒｂｉｎｅＢｕｃｋｅｔｓ，Ｔｒａｎｓ爿．蜀自ＥＶ．８０，ＮＯ．１，１９５８，１６９～１８０２５．Ａ．Ｌ．ＤｅａｋａｎｄＲ．Ｄ．Ｂａｉｒｄ．ＡＰｒｏｃｅｄｕｒｅｆｏｒＣａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅＰａｃｋｅｔＦｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆＳｔｅａｍＴｕｒｂｉｎｅＥｘｈａｕｓｔＢｌａｄｅｓ．ＴｒａｎｓＡＳＭＥＳｅｒｉｅｓＡ：ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｏｒＰｏｗｅｒ，１９６３，３２４～３３０２６．Ｊ．ＴｈｏｍａｓａｎｄＨ．Ｊ．Ｂｅｌａｋ，ＦｒｅｅＶｉｂｒａｔｉｏｎｏｆＢｌａｄｅＰａｃｋｅｔｓ，，舱矾Ｅｎｇ．＆五１９（１），１９７７．１３２７．林俊灿，叶片组振动计算，汽轮机，１９８０２８．Ｗａｎｇ，Ｊ．Ｈ．＆Ｓｈｉｅｈ，Ｗ．Ｌ．，１９９１，Ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆａｖａｒｉａｂｌｅｆｒｉｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆａｂｌａｄｅｗｉｔｈａｆｒｉｃｔｉｏｎｄａｍｐｅｒ．．厂Ｓｏｕｎｄ妇反１４９（１）：１３７～１４５２９．Ｆｅｒｒｉ，Ａ．Ａ．＆Ｈｅｃｋ，Ｂ．Ｓ，１９９８．ＶｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｄｒｙｆｒｉｃｔｉｏｎｄａｍｐｅｒｔｕｒｂｉｎｅｂｌａｄｅｓＵＳｉｎｇｓｉｎｇｕｌａｒｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ，ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＡＳＭＥ，。，ＦｉｂＡｃｏｕｓｔｉｃｓ，１２０：５８８－５９５３０．Ｂｅｒｔｈｉ儿ｉｅｒ，Ｍ．，Ｄｕｐｏｎｔ，Ｃ．，Ｍｏｎｄａｌ，Ｒ．＆Ｂａｒｒａｕ，Ｊ．Ｊ．，１９９８，ＢｌａｄｅｓｆｏｒｃｅｄｒｅｓｐｏｎｓｅａｎａｌｙｓｉＳｗｉｔｈｆｒｉｃｔｉｏｎｄａｍｐｅｒ，ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＡＳＭＥ，，ｇｉｂｄｃｏｕｓｔｉｃＳ１２０：４６８～４７４３１．Ｔｏｕｆｉｎｅ，Ａ，Ｂａｒｒａｕ，Ｊ．Ｊ．＆Ｂｅｒｔｈｉｌｌｉｅｒ，Ｍ．，１９９９，Ｄｙｎａｍｉｃｓｔｕｄｙｏｆａｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗｉｔｈｆｌｅｘｉｏｎ—ｔｏｒｓｉｏｎｃｏｕｐｌｉｎｇｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｃｅｏｆｄｒｙｆｒｉｃｔｉｏｎ，Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ。ＤｙｎａｍｉｃＳ１８：３２１～３３７３２．Ｗａｎｇ，Ｙ．，１９９７．Ｓｔｉｃｋ—ｓｌｉｐｍｏｔｉｏｎｏｆｆｒｉｃｔｉｏｎａｌｌＹｄａｍｐｅｄｔｕｒｂｉｎｅａｉｒｆｏｉｌｓ：ａｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｉｎｔｉｍｅ（ＦＥＩ）ａｐｐｒｏａｃｈ，ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＡＳＭＥ，，盱６６参考文献１９：２３６—２４２３３．季保华等，１９９７。阻尼连接叶片的试验研究。隋拗Ｚ岌习ｅ，３９（４）：２３８—２４３Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，１３４．晏水平，黄树红等，２００１，汽轮发电机组轴系扭振引起的叶片响应计算，动力ｒ窟２１（４）：１２８８～１２９１３５．鲍文等，２０００，３００ＭＷ汽轮机低压缸末级长叶片与轴系扭振的耦合振动，汽轮扔貅，４２（２）．６６～６８３６．Ｎ．Ｆ．ＲｉｅｇｅｒａｎｄＲ．Ｓｕｂｂｉａｈ，ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＭａｎｕａｌｆｏｒＳｔｅａｍＴｕｒｂｉｎｅＢｌａｄｅＡｎａｌｙｓｉＳ，Ｓｔｒｅｓｓ殆ｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｄ，Ｒｏｘｈｅｓｔｅｒ，ＮＹ，Ｍａｒｃｈ２１，１９８６３７．ＲａｊａｇｏｐａｌＳｕｂｂｉａｈ，ＢｌａｄａｍＣｏｍｐｕｔｅｒＣｏｄｅｆｏｒｔｈｅＥｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆＤａｍｐｉｎｇｉｎＴｕｒｂｉｎｅＢｌａｄｅＣｏｍｐｏｎｅｎｔｓ。Ｒｅｐｏｒｔ‘ｉ．ＳＴＩ．１９８７３８．戴沛德，阻尼技术的工程应用，北京清华大学出版社，１９９１３９．Ｊ．Ｓ．Ｒａｏ，ＴｕｒｂｉｎｅＢｌａｄｅＶｉｂｒａｔｉｏｎ，ＪｏｈｎＷｉｌｏｎ＆ＳＵＮ，１９９１４０．Ｚ．Ｋｏｖａｔｓ．ＤｙｎａｍｉｃＣａｓｃａｄｅＦａｃｉｌｉｔｙａｎｄＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＩｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇＦ１０Ｗ—ＥｘｃｉｔｅｄＶｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄＡｅｒｏｄｙｎａｍｉｃＤａｍｐｉｎｇｏｆＭｏｄｅｌＬｏｗＰｒｅｓｓｕｒｅＢｌａｄｅＧｒｏｕｐｓ，ＡＳＭＥｐａｐｅｒ，７９一ｗＡ／ＧＴ一６４１．Ｅ．Ｆ．Ｃｒａｗｌｅｙ，ＡｅｒｏｄｙｎａｍｉｃＤａｍｐｉｎｇＭｅａｓｕｒｅＪｌ】ｅｎｔｓｉｎａＴｒａｎｓｏｎｉｃＣｏｍｐｒｅｓｓｏｒ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｏｒＰｏｗｅｒ，１９８３，１０８（３），５７５～５８４４２．邵荷生，曲敬信，许小棣等，摩擦与磨损，北京煤炭工业出版社，１９９２４３．孙家枢，金属的磨损，北京冶金工业出版社，１９９２４４．沈心敏，摩擦学基础，北京航空航天大学出版社，１９９１４５．陆大雄，摩擦学导论，北京出版社，１９９０．４６．茹铮，塑性加工摩擦学，北京科学出版社，１９９２４７．金永昕，工程摩擦学，杭州浙江大学出版社，１９９４掘Ｊ．Ｓ．Ｒａｏ，Ｎ．Ｓ．Ｖｙａｓ，ＤｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｏｆＢｌａｄｅＳｔｒｅｓｓｅｓＵｎｄｅｒＣｏｎｓｔａｎｔＳｐｅｅｄａｎｄＴｒａｎｓｉｅｎｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓｗｉｔｈＮｏｎｌｉｎｅａｒＤａｍｐｉｎｇ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｏｒｇａｓＴｕｒｂｉｎｅｓａｎｄＰｏｗｅ］－，１９９６，ｌ１８（２），４２４～４３３４９．Ｊ．Ｔ．Ｏｄｅｎ，Ｅ．Ｂ．Ｐｉｒｅｓ，ＮｏｌｏｃａｌａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＦｒｉｃｔｉｏｎＬａｗｓａｎｄＶａｒｉａｔｉｏｎａｌＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｆｏｒＣｏｎｔａｃｔＰｒｏｂｌｅｍｓｉｎＥｌａｓｔｉｃｉｔｙ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ１９８３，５０（１），６７～７６５０．ＬＦ．Ｗａｇｎｅｒ，Ｊ．Ｈ．Ｇｒｉｆｆｉｎ，Ｂ１ａｄｅＶｉｂｒａｔｉｏｎｗｉｔｈＮｏｎｌｉｎｅａｒＴｉｐＣｏｎｓｔｒａｉｎｔ：ＭｏｄｅｌＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，ＡＳＭＥ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｕｒｂｏｍａｃｈｉｎｅｒｙ，１９９０．儿２（４），７７８～７８５５１．朱因远，周纪卿，非线性振动和运动稳定性，西安交通大学出版社，１９９２，３２～３４５２．Ｃ．一Ｈ．Ｍｅｎｑ，Ｊ．Ｈ．Ｇｒｉｆｆｉｎ，Ｊ．Ｂｉｅｌａｋ，ＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆａＶａｒｉａｂｌｅＮｏｒｍａｌＬｏａｄｏｎｔｈｅＦｏｒｃｅｄＶｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａＦｒｉｃｔｉｏｎａｌｌｙＤａｍｐｅｄＳｔｒｕｃｔｕｒｅ，ＡＳＭＥＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｏｒＧａｓＴｕｒｂｉｎｅｓａｎｄ总ｗｅＴ，１９８６，Ｖｏｌ１０８（２）。３００’３０５５３．李锋，季葆华，谢浩，孟庆集，汽轮机叶片激振因子影响因素的分析研究，汽努祝疫蔫１９９９．１０，Ｖ０１．４１Ｎｏ．５５４．季葆华等，汽轮机叶片干摩擦阻尼机理及其数学描述汽轮机技术１９９７ｖｏｌＩ３９参考文献ｎｏ．６３４５—３４９５５．Ｂｅｒｔｈｉ儿ｉｅｒ，Ｍ．，Ｄｕｐｏｎｔ，Ｃ．，Ｍｏｎｄａｌ，Ｒ．＆Ｂａｒｒａｕ，Ｊ．Ｊ．，１９９８．Ｂｌａｄｓｗｉｔｈｆｏｒｃｅｄｒｅｓｐｏｎｓｅａｎａｌｙｓｉｓｆｒｉｃｔｉｏｎｄａｍｐｅｒ．ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓＯｆｔｈｅＡＳＭＥ，ｄＶｄｂｄｃｏｕｓｔｉｃ＆１２０：４６８～４７４５６．季葆华等，阻尼连接叶片的实验研究汽轮机技术，１９９７５７．Ｄｉｎｇ，Ｑ．，Ｌｅｕｎｇ，Ａ．Ｙ．Ｔ．＆Ｃｏｏｐｅｒ，Ｊ．Ｅ．，２００１．Ｄｙｎａｍｉｃｅｘｃｉｔｅｄｈｙｓｔｅｒｅｔｉｃｓｙｓｔｅｍ．，Ｓｏｕｎｄｖ０１．３９ｎＯ．４２３８—２４３ｏｆａａｎａｌｙｓｉＳｓｅｌｆ—ｒｉｂ，２４５（１）：１５１—１６４Ｖ０１．１８ｎｏ．１５８．陈予恕．非线性振动．天津：天津科技出版社，１９８３５９．刘东远，孟庆集，汽轮机叶片激振力分析及优化动力工程１９９８１２—１８６０．季葆华等，现代汽轮机叶片阻尼结构形式设计方法的研究西安交通大学学报１９９９ｖ０１．３３ｎｏ．８４０一４３６１．Ｍ．Ａ．Ｐｒｏｈｌ，ＡＭｅｔｈｏｄｆｏｒＣａｌｃｕｌａｔｉｎｇＶｉｂｒａｔｉｏｎＦｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄＳｔｒｅｓｓｏｆａＢａｎｄｅｄＧｒｏｕｐｏｆＴｕｒｂｉｎｅＢｕｃｋｅｔｓ，ＴｒａｎｓＡＳＭＥ，Ｖ．８０，ＮＯ．１，１９５８，１６９～１８０６２．Ａ．Ｌ．ＤｅａｋａｎｄＲ．Ｄ．Ｂａｉｒｄ．ＡＰｒｏｃｅｄｕｒｅｆｏｒＣａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅＰａｃｋｅｔＦｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆＳｔｅａｍＴｕｒｂｉｎｅＥｘｈａｕｓｔＢｌａｄｅｓ，ＴｒａｎｓＡＳＭＥＳｅｒｉｅｓｄ．＇ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｏｒＰｏｗｅ９１９６３，３２４～３３０６３．Ｊ．Ｔｈｏｍａｓ１３ａｎｄＨ．Ｊ．Ｂｅｌａｋ，ＦｒｅｅＶｉｂｒａｔｉｏｎｏｆＢｌａｄｅＰａｃｋｅｔｓ，ｄ．Ｍｅｃｈ．Ｅｎｇ．Ｓｃｉ，１９（１），１９７７，６４．林俊灿，叶片组振动计算，苊话祝，１９８０６５．ＡＬＡＩＮＴＯＵＦＩＮＥ，ＪＥＡＮＳｔｕｄｙｏｆａＪＡＣＱＵＥＳＢＡＲＲＡＵ，ＭＡＲＣＢＥＲＴＨＩＬＬＩＥＲ，ＤｙｎａｍｉｃＰｒｅｓｅｎｃｅｏｆＤｒｙＳｔｒｕｃｔｕｒｅｗｉｔｈＦｌｅｘｉｏｎ—ＴｏｒｓｉｏｎＣｏｕｐｌｉｎｇｉｎｔｈｅＦｒｉｃｔｉｏｎ，ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ．１８：３２１～３３７，１９９９作者读硕士期间发表的论文及科研・情况发表的论文１．孙艳红，丁干，叶敏，两自由度复合材料层合板的非线性参激振动，工程力学增刊，Ｖ０１．２０，２００３２．ＳｕｎＹａｎｈｏｎｇ，ＤｉｎｇＱｉａｎ，ＹｅＭｉｎ，ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆａＴｗｏｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍＮｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈＰａｒａｍｅｔｒｉｃＥｘｃｉｔａｔｉｏｎ，Ｔｈｅｌ】ｔｈＷｏｒｌｄＣｏｎｇｒｅｓｓＩｎＭｅｃｈａｎｉｓｍａｎｄＭａｃｈｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅ，２００４．４３．丁千，孙艳红，汽轮机干摩擦阻尼叶片多谐波激振响应分析，振动与冲击（未发表）科研情况干摩擦阻尼器透平叶片系统的黏滑振动动力学研究，国家自然科学基金项目（１０２７２０７８）；堕茎——附录Ｉ单自由度模型分析１．第一阶谐波的主共振Ｑ．。１Ｅ＝－；（２８ｖ２ａ２ｙ２石一４ａ２（ｆｌ—ａ）一ｓｉｎ（，９）ｙｚ，９－４ａ２颐ｓｉｎ（，９）ｙｚ２十１６ｎｙ３掌Ｑ１妒口＋３８ａｆｌａｙ３石一ｌＯａａ２Ｙ３石一２２２ｙ３ｆ２ｆｌｓｉｎ（２＇９）一２ｓａｐ２ｙ３７／＂＋２ｙ４ｆｌｅａｌ７／＂２＋ｙ４ｃ嘻Ｑｌ疗２—３８ａｆｌａ２Ｊ，２万＋ｌＯａ２口２ｙ２石＋３２ａ４ｆｌａｉｒ＋１６ａ４口２１９＋１６ａ３口２ｎｙ＋１６ａ３∥２ｙ（ｚ一．９）＋１６ａ４卢２１９＋２４ａ２ｃｒ‘；ｎｌＹ２ｚＯ一１６ａ３口２０ｙ一２４ａ２／臼芎Ｑ１＿ｙ２ｚ，９＋２４ａ２脾１Ｙ２牙２—１６ａ４∥２７／＂一３２ａ４膨Ｊ＋３２ａ３ｆｌａｙ（，９一／ｔ＂）一２４ａ２（姻ｌｙ２厅２—１６ａ４ａｔ＇２万一１６ａｚｃｔ，９ｆｙ３Ｑ１—１６ｚ２哟３０１＋１６２２Ｙ３｛ｎｌ口口＋７１＂２Ｙ３甄Ｑｌｃｏｓ（，９）＋２２２ｙ３ｆ２ａｓｉｎ（２，９）＋４ａ２觑ｙｌｒ２ｓｉｎ（，９））／（ｚ２ＱｌＹ３）Ｚ２＝（－２４Ａｙ２Ｖ３ａ，９ｓｉｎ（，９）＋１６ｆ２ｙ２％膨２ｃｏｓ（２＇９）一６ＡＹ２ａ，ｇＺ２，ｃｏｓ（２ｙ３一＇９）＋２４ｆｌｙ２Ｖ３ａｚｓｉｎ（，９）一４８ｆｒｙ２ｚｆｌ，ｇｓｉｎ（，９）一１６ｆ，ｙ２∥３ａＺ２ｃｏｓ（２，９）＋４ｆ２ｙ２ａＺ２ｓｉｎ（２缈３一１９）一６ＡＹ２ｆｌｒ，ｚ２ｃｏｓ（２ｖ３一。９）＋６ｆｒＹ２ａＺ２ｚｃｏｓ（２ｖ３一口）一２４ｆｌｙ２石２ａｓｉｎ（，９）十４８Ａｙ２妒３（ｆｌ—ａ）ｃｏｓ（Ｚａ）＋６ＺＹ２ａ＇ｇｃｏｓ（２Ｖ３一１９）－３ｆｌｙ２（口一声）Ｚ２ｓｉｎ（２ｐ，３一１９）一６ｆｌＹ２ｆｌ，ｇｃｏｓ（２妒３一１９）＋６Ｚｙ２∥理２ｃｏｓ（２妒３＋ｔ９）＋７２ｙ３∥２ｓｉｎ（２ｖ））一１６ｆ２ｙ２矿３（ｆｌ—ａ）ｃｏｓ（２ｔ９）一１４４ｙ３ｙ３卢２＋１９２ｙ３∥２厅＋８４ｙ３球２万一３』ｙ２ａＺ２ｓｉｎ（２ｖ３＋口）一６Ｚｙ２ｚａＺ２ｃｏｓ（２弘／３十１９）－６ｆＫｙ２，ｇａｅｏｓ（２ｖ３＋∞＋１２Ｌｙ２妒３ｆｌｅａｓ（，９）＋３工ｙ２胆２ｓｉｎ（２７ｔ３＋回＋６ＡＹ２ｆｌ，ｇｃｏｓ（２Ｖ３＋｜９）＋６ｆｒＹ２∥。舅ｚ２ｃｏｓ（２Ｖ３一圆＋２４ｆｌｙ２ｃ趼２ｚ２ｓｉｎ（ｔ９）＋７２ｆｌａｙ３Ｚ２ｓｉｎ（２ｙ３）一６ＡＹ２∥韶２ｃｏｓ（２ｖ３＋回一１２／；ｙ２膨２妒３ｃｏｓ（，９）＋６ｆｌＹ２ａ＂９２２ｃｏｓ（２｛ｕ３＋口）＋４８ｆｚｙ２ａｚｃｏｓ（Ｚ＇９）＋４ｆ２ａｙ２２２ｓｉｎ（２ｖ３＋２圆＋２４Ａｙ２（口一ｆ１）ａｚ２ｙ３ｓｉｎ（Ｏ）＋２４ｆｌｙ２（ｆｌ—ａ）Ｚ２ｙ３ｓｉｎ（，９）ｚ十４８＾ｙ２ｆｌｚ矗Ｚ２％ｓｉｎ（ａ）一１２０ｆ：ａｙａｓｉｎ（２圆＋１２８ｆ２ａ２ｚ２（ｆｌ—ａ）ｓｉｎ（２＇９）＋９６ｆｌａ２ａ，９ｃｏｓ（Ｏ）＋９６ｆｌａ２，＆ｒｃｏｓ（Ｏ）＋１９２ｆｚＺａ２（卢一口）ｓｉｎ（Ｚ＇９）一４０ｆ２ｙ２ｘａｃｏｓ（２，９）一９６ｆｌａ２卢１９ｃｏｓ（，９）＋４８ｆｔａ（∥一口）ｙｓｉｎ（圆一４８ｆｌｚ２ａ２（ａ－－ｆ１）ｓｉｎ（，９）一１２ｆｌｙ２ａｘｃｏｓ（８）＋２４ｆ２ｙ。８冗ｃｏｓ（２，９）一９６ｆｔａｚａｚｅｏｓ（ａ）＋１２８ｆ２附录口２（口一ｆ１）ｓｉｎ（２３）一４８ｆＩａ２（ｆｌ—ａ）ｓｉｎ（３）＋４０ｆ２ｙ２ａｚＺ２ｃｏｓ（２ａ）＋４８ｆｌｙ２卢疵２ｃｏｓ（，９）＋４８ｆｌＺ２ａａｙｓｉｎ（３）十１９２ｆｚＺａａｙｓｉｎ（Ｚ１９）＋２４甑ｙ２刀ＱＩｓｉｎ（Ｇ）＋９６ｆｌａｙａｚｃｏｓ（８）＋９６ｆｌａ２２２ａｚｃｏｓ（３）＋１２ｆｊｙ２２２ａｚｃｏｓ（ａ）＋１２ｆｆｙ２２２ａｙ３ｃｏｓ（—９）～４ｆ２Ｙ２２２∥ｓｉｎ（２矽＂３—２３）＋６ＺＹ２ｆｌｎ＇ｃｏｓ（２妒３一圆一６ｆｌｙ２ｐ∥ｃｏｓ（２≯＇３十１９）一１２ｆｒｙ２ｙ３口ｃｏｓ（３）＋２４ｆｌｙ２ｙ３ｆｌａｓｉｎ（ｏａ）一９６ｆ１．．ｖＺ２ａ（ａ一卢）口ｃｏｓ（８）＋９６ｆｌＺ２ａ２ｐＳｃｏｓ（３）一９６＾ａａｙａｃｏｓ（８）＋１２８ｆ２ａｙｆｌｓｉｎ（２，９）一２４ｆｌｙ２ｙ３，８ｘｓｉｎ（Ｏ）一４厶ｙ２ｚ２，８ｓｉｎ（２ｙ３＋２３）＋１４４ｙ３妒３ｃ妒一９６ｙ３ｘａ，８＋４８ｆ２２ｙ３手２疗一８４ｙ３２２口２丌一１９２ｙ３ｚ２∥２玎＋１４４ｙ３ｙ，ｚ２卢２＋４８ｙ’口研＋９６ｙ３Ｉ珈一６ＺＹ２ａｚｅｏｓ（２ｙ３一口）＋６Ｚｙ２ａｚｃｏｓ（２矿３＋ｔ９）一１４４ｙ’ｙａａｆｌＺ２—４８ｙ３，ｚＱ；毒２２２＋９６ｙ３２２，ａａｘ＋４Ａｙ２ｆｌｓｉｎ（２￥ｑ＋２国＋４ｆ２ｙ２∥ｓｉｎ（２Ｐ３—２１９）一７２ｙ３，ａａｓｉｎ（２矿３）一１２５Ｙ２（ｆｌ—ａ）ｓｉｎ（Ｚ８＋２ｙ３）一３ｆ，ｙ２（卢一ａ）ｓｉｎ（３＋２妒３）一３石ｙ２（ｆｌ一口）ｓｉｎ（２ｐ＂３一｜９）一１２厶Ｙ２（∥一ａ）ｓｉｎ（－Ｚ３＋２ｙ３）～７２ｙ３∥２２２ｓｉｎ（２妒３）一４８ｙ３ａｏ－彪７２—９＠３Ｚｂ咒ｚ２一幔ｙ２∞ｉｎ（２矿３—２３）－－４ｆ２ｙ２ａｓｉｎ（２＿｝ｕｊ＋２卵一９６ｆｔＺ２ａｙ（ｆｌ—ａ）３ｃｏｓ（３）一９６ｆｌａｙ（ｚ一圆Ｂｏｏｓ（ａ）一９６ｆＺ２口２ａａｃｏｓ（３）一２４舅ｔｙ。Ｚ２刀Ｑｌｓｉｎ（３）一１２８Ｌｚ２ａｙ（ｆｌ—ａ）ｓｉｎ（２３）一１９２ｆ２，Ｚａｙｆｌｓｉｎ（Ｚ３）一４８ｆｊＺ２ａｆｌｖｓｉｎ（，９）一２４ｆ２ｙ２２２巧口ｃｏｓ（２￥一９６ｆｌａ２２２口厅ｃｏｓ（，９）一４８ｆｌｙ２ｐｎｃｏｓ（，９））／（９６ｎｙ３Ｑ。（Ｚ２—１））２．第二阶谱波的主共振Ｑ：“１巧２雨丽１【１００８０ａａｙｆｌａ，９＋７５６０Ｊ（ｆｌ一口）却ｚｙ２矿＋５０４０ａｓ口２归．－１００８０ａ３ａｆｌｙｚ＋５０４０ａ４∥２口＋１００８０ａ４ｆｌａ（，ｒ—１９）一５０４０３３口２ｙａ＋５０４０口３ｆｌ２ｙ（ｚ一．９）一７５６０ａ２（ｆｌ一口）国２ｙ２棚＋５０４０ａ４口２（１９一万）～５０４０ａ４ｆ１２刀＋１２６０（ｆｌ—ａ）ａ２ｆ２ｙｚ２ｓｉｎ（ａ）＋１２６０（ａ—ｆ１）ａ２ｆ２ｙｚ３ｓｉｎ（ａ）一７００ｆｌＹ２艺石（ｃｏｓ咕回＋ｃ。ｓ毫．９））＋２８００‘ｙ３ａ筇ｃ。ｓ哇ｔ９）－－１４００‘ｙ３（ｆｌ一口）妒３ｃｏｓ（１口）＋７７９２‘ｙ３肛ｏｓ（吉１９）－１５３６ｆｌｙ３ａｚｃｏｓ（Ｉ，．０）－８８２０掣３ｆ１２ｚ－５０４‰２ｙ３如２（ｆｌ刊＋４０９６ｎｙ３‘抑２ｓｉｎ哇趴３１５２２ｙ３璺＂）２，２ｃ。ｓ（即３１５０口２ｙ２ａ２万一３５０ｆｌＹ３（仆ｆ１）ｓｉｎ（２ｙ３＋吾．９）一３５０ｆｌｙ３（ａ－ｆ１）ｓｉｎ（２ｙ３一吾．９）＋１１９７０伽３石附录＋６３０争４脾２石２—１１９７０ａ２肋２石一３１５０口口２ｙ３ｚ＿５０４０ｙ３．ｚ锄２ａ（ａ一卢）．９＋８８２０ａ２ｙ２ｆ１２ｚ＋３１５ｙ４勰２石２】ｚ２＝（１１５２０ｆ１２２２ｙ３＋４３２０（ｆｌ一口）∥纠３ｓｉｎ（２妒３）一３６０ｆ２ｙ２肛２ｃ。ｓ（２ｙ３＋１９）＋３６０ｆ２ｙ２（ｆｌ一口）ｚ２ｃｏｓ（２ｖ／３—８）４－９６０ｆｌｙ２（ａ｜９＋肋）ｓｉｎ（２缈３一丢占）＋９６０ｆｌｙ２ｆｌ（石一跏咄２ｙ３＋吉趴３６０ｆ２ｙ２彻２ｃｏｓ（２９３＋ｕｏ）＋２８８０ｆＺｙ２嘶２ｃ。ｓ‘ｉ１ｚｏ）－２８８０ｆ１２ｙ３２２２２＋１０２４０ｆｌｔｒｎｙ２ｓｉｎ（尹１—１０８０ｆ１２ｙ３尼２ｓｉｎ（２矿３）－１４４０ｆ２ｙ２簖３ｓｍ（＃）＋ｌＳＯｆ２ｙ２筋ｓｉｎ（２９３＋８）＋７２０ｆｚｙ２鲫ｓｉｎ（２∥３一丢ｚ圆＋９６。‘ｙ２ａ，ｇｓｉｎ（２％＋丢ｔ９）一３８４０‘ｙ２册ｒ２ｃｏｓ（１６１）＋７２０，Ｚ），２钎ｓｉｎ（２％＋吾ｚ回＋１８０ｆ２（口一ｆ１）ｙ２ｚｓｉｎ（２｜；ｃ／３－．９）一１８０如ｆｌｙ２ｚｓｉｎ（２％＋占）一７２０ｆｚＹ２肛ｓｉｎ（２妒３＋昙ｚｔ９）一７２０ｆｚｙ２ｆｌｚｓｉｎ（２ｙ３一ｉ１１ｚ回一９６０‘ｙ２嬲ｓｉｉｌ（２吩一吉占）一？６。五ｙ２嬲ｓｉｎ（２％＋吉ｔ９）Ｉ１一一９６％ｙ‘ｆｌＯｓｉｎ（２≯＇３一吉Ｊ）＋７２０ｆ２ａＹａＺＺ２ｓｉｎ（Ｏ）一５７６０ｆ２ａ２∞一卢）石２ｃ。ｓ（回一７６８０ｆ１（口１９＋励一ｆｌＳ）ａ２ｓｉｎ０口）一７２０ｆ２Ｙ２伽２ｃｏｓ（８）一２８８０ｆ２ｙ２ｆｌｎ：２ｃｏｓ（８）一２８８０ｆ２ａ２ｆｌ石ｓｉｎ（Ｏ）一４８０‘易ｙ心ｎ（寻ｔ９）＋１９２０石正ｙ石ｓ协（（ｉ＋ｚ）主圆一１４４。‘易ｙ石ｓｉｎ哇１９）一３５８４石ｙ２卵ｓｉｎ（三０—１９２０ｆｆｚ＿ｙ万ｓｉｎ（（ｚ一１）妻．９）＋９０ｆ２ｙ２２２ａ１９万ｃｏｓ（２弘，３＋｜９）一９６０ｚｙ２２２芦｜９妒３ｃｏｓｅｌ９）＋１９２０ｆｙ２２２ｆｌ＆ｒｃｏｓ（寺８）＋１４４０ｆ２ｙ２石（尸一口）口ｙ３ｓｉｎ（印＋３６０ｆ２ｙｒＺ２（ｆｌ－ａ）ｙ３石２ｓｉｎ（＃）＋９０≯２ｙ２２２（∥一ａ），ｇｚｃｏｓ（２ｖ／３一口）＋１８０Ｌｙ２２２ａ９３ｚｃｏｓ（，９）－９６０ｆｙ２２２（ｃｍ７一肛一口ｔ９）ｙ３石ｃｏｓ（三１９）＋７２０Ｌｙ２２２ｆｌ，ｇｚ２ｓｉｎ（ａ）一９０ｆ２ｙ２２２ｆｌＳｚｃｏｓ（２妙３＋ｔ９）一１８０厶多２２２％ｆｉｎ＂ｃｏｓ（８）＋１４４０ｆ２ｙＺ２ｚａ６ｌａｃｏｓ（＃）＋１４４０ｆ２２２ａ２７／－２ａｃｏｓ（３）一７６８０ｆａｙ（口一∥）厅ｓｉｉｌ（÷ｔ９）＋５７６０ｆ２ａｙｐｚ８ｃｏｓ６９）一１４４０ｆ２２２口２ａｚ８ｃｏｓ（８）一３６０五附录ｙ２２２万２｛ｎ２ａ２ａｘ＇９ｃｏｓ（，９）－？２８８０ｆ２ａｙａｎ－ｓｉｎ（回＋５７６０ｆ２ａｙ钎２ｃｏｓ（，９）＋３６０ｆｆ２ｙｚｒｒＺ２ｓｉｎ（Ｏ）＋７２０Ｌｙ。ｚ２巧２ｆｌｃｏｓ（８）一７２０正Ⅱ２２２嬲ｓｉｎ（Ｏ）＋５７６０Ａｓｉｎ（吉＇９）＋２８８０ｆ２ａ２伽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