高等数学试题及答案代数与解析几何

代数与解读几何试卷（一）

一、计算（20分）

1351xa5272a1） 2）

21413463a二、证明：（20分）

axaaaa

xa1）若向量组1n线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。 2）若向量组1n中部分向量线性相关，则向量组1n必线性相关

~~三、（15分）已知A为n阶方阵A为A的伴随阵，则|A|=0，A的秩为1或0。

四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n 五、（15分）求基础解系

x1x2x3x40x1x2x33x40 xx2x3x02341六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的 七、（10分）求证△ABC的正弦正定理

abc sinAsinBsinC答案(一)

一、1）-126 2）[x(n2)a](x2a)n1

二、证明：

1）1n线性无关，1r是其部分向量组，若存在不全为0的数k1kr使则取，则k11krr0kr1kr2kn0k11krr0r10n0，则可知1n线性相关矛盾，所以1r必线性无关。 2）已知1r是向量组中1n中的部分向量，且线性相关即k1kr 不

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全为0，使k11krr0，取kr1kn0，于是有不全为0的

k1kr00，使k11krr0r10n0即1n线性相关。

|A||A|~三、证明：AA|A|I |A|由于|A|=0 ，A的秩≤n-1

~1）若A的秩为n-1，则A中的各元素为A的所有n-1阶子式，必有一个子式

~不为0，又由于A的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n-1）=1，由此A的秩为1。

~~~~2）若A的秩＜n-1，则A中的所有A的n-1阶子式全为0，即A=0，A的秩为

0。

四、证明：∵对任意n级方阵A与B，有

rank（A+B）≤rank（A）+rank （B）

又∵rank（A－I）=rank[－（A－I）]=rank（I－A） ∴rank[（A+I）+（I－A）]=rank（2I）= rank（I）=n

≤rank（A+I）+rank（I－A）=rank（A+I）+rank（A－I）

五、

11111101x210A11130012 取0,1基础解系 x112300004111012

0201六、证明：设e1e2en是正交向量组，且不含空向量。若有

k1e1k2e2knen

则 (k1e2knen,ei)(,ei)0

且 (k1e2knen,ei)ki(eiei)0i1n

(eiei)0ki0,i1n即 e1en线性无关

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七、证明：如图：

aba(ca)ac

bc(ca)cac A |ab|absinCcb |ac|bcsinB

|bc|bcsinA B a C

bcsinAabsinCacsinB abc sinAsinBsinC

代数与解读几何试卷（二）

一、计算：（20分）

1b100001000bn1bn

13 1）

510042001311b1b22011b24 2）

300040001bn1二、（20分）若一向量组是线性相关的充分必要条件是至少有一个向量是其余

n-1个向量的线性组合。

三、（10分）若S1与S2是线性空间V（F）的不同真子空间，求证至少存在一个向量，使Sii1,2 四、（10分）求基础解系

3x1x26x34x42x502x12x23x35x43x50 x5x6x8x6x023451五、（15分）证明：含有n个未知数的n+1方程的方程组

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a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2222nn2211有解的必要条件是行列式 axaxaxbn22nnnnn11an11x1an12x2an1nxnbn1a11a21an1a1na2nannb1b20但这一条件不充分，试举一反例。 bnbn1an11annn六、（15分）设V是n维欧氏空间V,0，求{|()0,V}的维数为n-1。

七、（10分）设△ABC的三条中线的交点为O，求证：OAOBOC0

答案(二)

一、1）-60 2）1

二、证明：若相关，Nwh 不全为0的数k1kn使k11knn0设ki不

等0，于是kiik11ki1i1ki1i1

ikkk11i1i1i kii1ki若有一个向量表示其余之向量n-1个向量的组合

1k11kii1ki1i1knn

有k11kii1iki1i1knn

三、证明：设1S1,1S2,2S2,2S1，则12，则S1,S2 否则S1有21S1矛盾，若S2有1S2S2矛盾。

四、解：

4 / 8

9104316423A223530141568600034740145 40931444x3100375x40,1,014,24,34

100x0015010001五、解：若有解：则把系数阵各列看作列向量有：

x1b1(1n)， 即1n线性相关，于是有D=0，反之不成立

xbnn12112xy12xy2 有2120 但无解。 2xy2212六、证明：非空间且

1,22有（k11k22）

k(1)k2(2)000是子空间。把扩充为V的一组基12n，

把这组基正交化，1e1,e2en 有ei，eii2n，即的维数为n-1

七、证明：如图 A

已知O是△ABC三条中线的交点，由向量加法有 E 1(ABAC) F O C 21BF(BABC) B D

21CF(CACB)

2222BE,OCCFAC 又OAAD,OB3332OAOBOC(ADBECF)

3AD5 / 8

又APBECF11(ABACBABCCACB)00 22OAOBOC0

代数与解读几何试卷（三）

一、计算：（20分）

121）

34234134120111410xx1 2）1x0x 231xx0二、（10分）若一个不含零向量的向量组成线性相关，则至少有两个向量是其

余向量的线性组合。 三、（20分）若S1S2Sm是线性空间V（F）的真子空间，求证到存在一个向

量，使iSi(i1m)

四、（15分）求证：1）A2=A，求证：P=2A－I为对合阵

2）A为2n+1阶方阵，且A′=－A，求证|A|=0

五、（10分）求基础解系

x1x2x3x40 x1x2x3x402x2x2x2x02341六、（10分）若A为n阶方阵，若对任意的一列矩阵X，均有AX=0，求证A

为零阵 七、（15分）设e1en是n维欧氏空间V的标准正交基，1k是V中k个向

量，若1k两两正交，则必有

(e)(iss1njse)0i,j1k,ij

答案(三)

一、1） 160 2）(1)n1(n1)xn2

二、证明：1n线性相关，且不含0向量，则有一组不全为0的数k1kn使

k11knn，因为至少有一个

ki0有

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kiik11knnikjkk1全为1bn若其余的n一个系数

k2kikikk11nnkjkj0，则i矛盾，故必有至少有一个kj0,ij于是j即至少有两个向量是其余向量的线性结合。

三、证明：用归纳法，当n2命题成立（由习题4）解设为：nk的命题，当nk1时，由归纳假定存在Si(i1k) 若Sk1则命题成立。

若Sk1，则由Sk1为真子空间，有Sk1，此时有k，使krS，否则

krSk1，则kSk1同时，对不同的k1,k2 不含有k1与k2同属于一个Si(i1k)反之，若k1Si,k2Si有(k1k2)Si中

的所有ki(i1k)，于是这样的k，有kSi(i1k1)

A2A

四、证明：1）P2(2AI)(2AI)4A24AII P为对合阵 2）A为2n+1阶方阵，且AA 有AA(1)2n1AA

又AA 即 AA,A0 五、解：

1111101x310A11110101 令0,1有 x42222000010011,2

1001100六、证明：∵A对任意一列矩阵X均有AX=0，取X10,X21Xn于

000是，A[X1,X2Xn]AI0，则A=0

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七、设e1en是n维欧氏空间V的标准正交基1k是V中k个向量，若

1k两两正交，则必有(ies)(jes)0i,j12k,1j

s1n证明：iki1e1kinen

jkj1e1kjnen

又(ies)kis(jes)kjs

又ij两两正交，ij，有(i)ki1kj1kinkjnnksnniskjs0

于是

(e)(1ss1jse)

kiskjs(i)0

s1n

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