八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

A例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

BEFBDCDAC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 应用：

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC 2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

A03、如图，已知在ABC内，BAC60，C40，0DP，Q分别在BC，

EACA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分证：BQ+AQ=AB+BP

BB线。求

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC， 求证： AC180

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上点，求证;AB-AC＞PB-PC 应用： 三、平移变换

B0QCPACD任意一

C例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA. 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求

A证：OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分于E，DF⊥AC于F.

BEOBC，DE⊥AB

CD（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理B M B 由。

E O P 图①

F D C A E F D 图③

五、旋转

N A 图②

C (第23题图)

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF

的度数.

例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN

ADF分别

BEC交BC,CA于点E,F。

当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 若AB=2，求四边形DECF的面积。

ABABC是边长为3的等边三角形，BDC是例3 如图，

EC等腰三

FA角形，且BDC120，以D为顶点做一个60角，

00M使

其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 ； 应用：

N1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，

∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）

于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

2、（西城09年一模）已知:PA=点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

（图1） （图2） PD的最大值（图3） APB的大小. (2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求,及相应∠3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动

2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两

时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系． 图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关

QL系是 ； 此时 ；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．