欧阳光明（2021.03.07）
各个击破
命题点1 二次根式有意义的条件
x＋3
【例1】 要使式子＋(x－2)0有意义，则x的取值范围为____________．
x－1【思路点拨】 从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义． 【方法归纳】
所给代数式的形式 整式 分式 偶次根式 0次幂或负整数指数幂 复合形式 x的取值范围 全体实数. 使分母不为零的一切实数．注意不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义. 被开方式为非负数. 底数不为零. 列不等式组，兼顾所有式子同时有意义. x＋1
1．(潍坊中考)若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
（x－3）2A．x≥－1B．x≥－1且x≠3
C．x＞－1 D．x＞－1且x≠3
2．若式子x＋4有意义，则x的取值范围是__________． 命题点2 二次根式的非负性
【例2】(自贡中考)若a－1＋b2－4b＋4＝0，则ab的值等于( ) A．－2 B．0 C．1 D．2
【方法归纳】 这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解，通常利用的非负数有：(1)|x|≥0；(2)x2≥0；(3)x≥0. 3．(泰州中考)实数a，b满足a＋1＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为( ) 11
A．2 B.2 C．－2 D．－2 命题点3 二次根式的运算
1－1
【例3】(大连中考)计算：3(1－3)＋12＋(3).
【思路点拨】 先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可．
【方法归纳】 二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律． 1
4．(泰州中考)计算：212－(3
1
3＋2)．
命题点4 与二次根式有关的化简求值
y2－x22xy＋y211
【例4】(青海中考)先化简，再求值：2÷(x＋x)·(x＋y)，其中x＝2＋
x－xy3，y＝2－3.
【思路点拨】 运用分式的运算法则先化简原式，然后将x和y的值代入化简后的式子求值即可．
【方法归纳】 将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算．
ab
5．(成都中考)先化简，再求值：(－1)÷22，其中a＝3＋1，b＝3－1.
a－ba－b命题点5 与二次根式有关的规律探究 【例5】(黄石中考)观察下列等式： 1
第1个等式：a1＝＝2－1；
1＋2第2个等式a2＝
1
＝3－2；
2＋3
1
第3个等式：a3＝＝2－3；
3＋2
第4个等式：a4＝
1
＝5－2.
2＋5
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an＝____________； (2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝____________．
【思路点拨】 (1)观察上面四个式子可得第n个等式；(2)根据所得的规律可得a1＋a2＋a3＋…＋an＝2－1＋3－2＋2－3＋5－2＋…＋n＋1－n.
【方法归纳】 规律的探究都遵循从特殊到一般的思维过程，在探究过程中要认真分析等式左右两边“变的量”与“不变的量”．
6．(菏泽中考)下面是一个按某种规律排列的数阵：
13 … 1 7 14 … 2第1行 3 22 15 … 2 3 4 … 5 10 17 … 6第2行 11 32 … 23 19 … 25 … 第3行 第4行 … 根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第n－2个数是____________(用含n的代数式表示)． 整合集训
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列二次根式是最简二次根式的为( ) A．23a B.8x C.y D.
23b4
2．下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式为( ) A.6B.32 C.18D.75
3．(宁夏中考)下列计算正确的是( ) A.a＋b＝ab B．(－a2)2＝－a4 C．(a－2)2＝a2－4 D.a÷b＝a
b(a≥0，b＞0)
4．化简3－3(1－3)的结果是( ) A．3 B．－3 C.3 D．－3
5．设m＝32，n＝23，则m，n的大小关系为( ) A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．不能确定
6．已知x＋y＝3＋22，x－y＝3－22，则x2－y2的值为( ) A．42 B．6 C．1 D．3－22
7．如果最简二次根式3a－8与17－2a可以合并，那么使4a－2x有意义的x的取值范围是( )
A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10
8．甲、乙两人计算a＋1－2a＋a2的值，当a＝5时得到不同的答案，甲的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（1－a）2＝a＋1－a＝1；乙的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（a－1）2＝a＋a－1＝2a－1＝9.下列判断正确的是( ) A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
9．若a3＋3a2＝－aa＋3，则a的取值范围是( ) A．－3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥－3
10．已知一个等腰三角形的两条边长a，b满足|a－23|＋b－52＝0，则这个三角形的周长为( )
A．43＋52B．23＋52
C．23＋102D．43＋52或23＋102 二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(常德中考)使代数式2x－6有意义的x的取值范围是____________．
12．(金华中考)能够说明“x2＝x不成立”的x的值是____________(写出一个即可)．
5－2
13．(南京中考)比较大小：5－3____________2.(填“＞”“＜”或“＝”)
14．若m，n都是无理数，且m＋n＝2，则m，n的值可以是m＝____________，n＝____________．(填一组即可)
15．在实数范围内分解因式：4m2－7＝____________． 16．当x≤0时，化简|1－x|－x2的结果是__________． 三、解答题(共52分) 17．(8分)计算： 61
(1)75×3÷；
2(2)a(a＋2)－a2b÷b.
18．(10分)先化简，再求值：2(a＋3)(a－3)－a(a－6)＋6，其中a＝2－1. x2＋y2－2xyxy
19．(10分)(雅安中考)先化简，再求值：÷(y－x)，其中x＝2＋1，y＝
x－y2－1.
20．(12分)若实数a，b，c满足|a－2|＋b－2＝c－3＋3－c. (1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
21．(12分)在如图8×10方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4.P是线段BC上的动点，连接AP，DP.
(1)设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长； (2)设k＝AP＋DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
【例1】 x≥－3且x≠1，x≠2 【例2】 D
【例3】 原式＝3－3＋23＋3 ＝33. 【例
4】
（y＋x）（y－x）x2＋2xy＋y2y＋x
原式＝÷·xy＝xx（x－y）
（y＋x）（y－x）y＋xx1··＝－xyxy.当x＝2＋3，y＝2－3时，原式＝－x（x－y）（x＋y）21
＝－1.
（2＋3）（2－3）【例5】 (1)(2)n＋1－1 题组训练
1．B2.x≥－4 3.B
1
4．原式＝2×23－3－2＝－2.
a－ba－a＋b（a＋b）（a－b）ab5．原式＝(－)÷＝·＝a＋b.∵aba－ba－b（a＋b）（a－b）a－b＝3＋1，b＝3－1，∴原式＝3＋1＋3－1＝23. 6.n2－2 整合集训
1．A2.D3.D4.A5.A6.C7.A8.D9.A10.C11.x≥3 12.答案不唯一，如：－1 13.＜ 14.1＋2 1－215.(2m＋7)(2m－7) 16.1 6
17．(1)原式＝53×3×2＝10. (2)原式＝a＋2a－a ＝2a.
＝n＋1－n
n＋n＋1
1
18．原式＝a2＋6a.当a＝2－1时，原式＝42－3.
（x－y）2x2－y2（x－y）2xyxy
19．原式＝÷xy＝·＝.当x＝2＋1，
x－yx－y（x＋y）（x－y）x＋y（2＋1）（2－1）12
y＝2－1时，原式＝＝＝4.
（2＋1）＋（2－1）22
20．(1)由题意，得c－3≥0，3－c≥0，即c＝3.∴|a－2|＋b－2＝0.∴a－2＝0，b－2＝0，即a＝2，b＝2.
(2)当a是腰长，b是底边时，等腰三角形的周长为2＋2＋2＝22＋2；当b是腰长，a是底边时，等腰三角形的周长为2＋2＋2＝2＋4.综上，这个等腰三角形的周长为22＋2或2＋4.
21．(1)AP＝a2＋16，DP＝b2＋4.
(2)k有最小值．作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，AP，交BC于点P，过A′作A′E⊥DC于点E.∴AP＝A′P.∴k＝AP＋DP＝A′P＋DP＝A′E2＋DE2＝16＋36＝52＝213.
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