广西桂林中学2015届高三上学期8月月考数学试卷（理科）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
2
1．设全集为R，集合A={x|x﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=( ) A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）
考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合．
分析：根据补集的定义求得∁RB，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁RB）．
2
解答： 解：∵集合A={x|x﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁RB={x|x≤﹣1，或 x＞5}，
则A∩（∁RB）={x|﹣3＜x≤﹣1}， 故选：C．
点评：本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
2．复数在复平面上对应的点位于( )
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义． 专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
解答： 解：复数===对应的点
在第三象限，
故选：B．
点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题． 3．若
则与
的夹角为( )
C．150°
D．120°
A．30° B．60°
考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：计算题．
分析：根据夹角公式，要先求出解即可． 解答： 解：设∴∴∵∴
2
的模，通过与的模的关系来实现，然后再用公式求
=t
=
∴cos＜，＞=
∴与的夹角为：30°
故选A
点评：本题主要考查数量积所抽象出的主要题类型，向量模的运算，夹角运算，这是向量考查的主要类型，也是解决空间距离和空间角的主要方法．
4．△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于( ) A．
B．
C．
D．
考点：解三角形．
专题：计算题；压轴题．
分析：先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．
222
解答： 解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a+c=4b﹣2ac，
又∵△ABC的面积为，∠B=30°， 故由
得ac=6． 222
∴a+c=4b﹣12． 由余弦定理，得解得
．
，
，
又b为边长，∴． 故选B
点评：本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．
5．从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是( ) A．
B．
C．
D．
考点：等可能事件的概率． 分析：由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从五个数中随机抽取2个不同的数有
C5种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，代入公式得到结果．
解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，
2
∵从五个数中随机抽取2个不同的数有C5种不同的结果，
而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法， 由古典概型公式得到P=
=
=，
2
故选B．
点评：数字问题是概率中的一大类问题，条件变换多样，把概率问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．
6．如果过曲线y=x﹣x上点P处的切线平行于直线y=3x+2，那么点P的坐标为( ) A．（1，0） B．（0，﹣1） C．（0，1） D．（﹣1，0）
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题．
分析：由曲线的解析式求出y的导函数，因为曲线上过点P的切线方程平行于直线y=3x+2，得到两直线的斜率相等，由y=3x+2求出直线的斜率，令导函数等于求出的斜率，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值即为点P的横坐标，把求出的x的值代入曲线解析式中求出的y即为点P的纵坐标，写出点P的坐标即可．
43
解答： 解：由y=x﹣x，得到y′=4x﹣1，又直线y=3x+2的斜率为3，
3
则4x﹣1=3，解得x=1，
把x=1代入曲线方程得：y=0， 所以点P的坐标为（1，0）． 故选A 点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线平行时斜率满足的关系，是一道基础题．
4
7．如果变量x，y满足条件上，则z=x﹣y的最大值( )
A．2 B． C．﹣1 D．1
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：画出满足条件的可行域，求出各角点的坐标，进而代入目标函数，求出各角点对应的目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值．
解答： 解：满足条件 的可知域如图所示：
∵目标函数为z=x﹣y， 且zA=1，zB=﹣2，zC=﹣， 故x﹣y的最大值为 1． 故答案为：1．
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，熟练掌握角点法在解答线性规划类问题时的方法和步骤是关键．
8．设命题p：ax+2ax+1＞0的解集是实数集R；q：0＜a＜1，则p是q的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑．
分析：分别讨论若a=0，若a≠0时的情况得出则p是q的必要不充分条件．
2
解答： 解：ax+2ax+＞0的解集是实数集， （1）若a=0，则1＞0恒成立；
2
（2）若a≠0，则，
故0＜a＜1．由（1）（2）得0≤a＜1．
故选：A．
点评：本题考查了命题的充分必要条件，充分理解“p⇒q”，本题属于基础题．
9．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数
αy=xx∈
解答： 解：由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}， 其中基本事件的总数为5，
设集合中满足“函数y=x，x∈ 令 10﹣3r=7得r=1，
71
故展开式中x项的系数为aC5=﹣15，解得a=﹣3， 故答案为：﹣3．
点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于中档题．
14．函数f（x）=sin（x+
2
α
）﹣sin（x﹣
2
），x∈（，）的值域是（，1]．
考点：三角函数中的恒等变换应用． 专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin2x，x∈（利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域． 解答： 解：∵f（x）=sin（x+
2
，）⇒2x∈（，），
）﹣sin（x﹣
2
）
=
=（sin2x+sin2x） =sin2x， ∵x∈（∴2x∈（∴
，，
）， ），
﹣
＜sin2x≤1，
，
）时，函数f（x）=sin（x+，1]．
2
即当x∈（故答案为：（
）﹣sin（x﹣
2
）的值域是（，1]．
点评：本题考查二倍角的余弦与诱导公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
15．若f（x）=﹣x+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的最大值是﹣1．
2
考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的概念及应用．
2
分析：先求出函数的导数，得不等式b≤x+2x，将问题转化为求g（x）的最小值问题，从而问题得解．
解答： 解：∵f′（x）=﹣x+令f′（x）≤0，得b≤x+2x，
2
令g（x）=x+2x，
画出函数g（x）的图象， 如图示：
2
，
，
∴b≤﹣1，
故答案为：﹣1．
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x+y﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．
考点：直线与圆相交的性质． 专题：直线与圆．
分析：由题意可得圆心为C（2，0），半径R=2；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，
22
即≤2，由此求得k的范围．
2
2
解答： 解：∵C的方程为x+y﹣4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2．
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=R=2∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2， 即
≤2
，解得k≤8，可得﹣2
2
，
≤k≤2，
故答案为：．
点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．在数列{an}中，a1=3，an=2an﹣1+n﹣2（n≥2，且n∈N） （Ⅰ）求a2，a3的值；
（Ⅱ）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列． 分析：（I）赋值：令n=2，n=3，能求出a2，a3的值．
（II）涉及到等差数列，等比数列的证明问题，只需按照定义证明即可，利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出{an+n}的通项公式，从而求出an． 解答： 解：（I）令n=2，得a2=2a1=6， 令n=3，得a3=2a2+1=13．
*
（II）∵，
∴数列{an+n}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴∴
．
，
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意赋值法和等比数列性质的合理运用．
18．已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点． （Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论； （Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．
考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．由已知得PC⊥BD，从而BD⊥面ACE，由此能证明BD⊥AE．
（III）连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O，由能求出二面角D﹣AE﹣B的大小． 解答： 解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD， ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1， ∴
．
，
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE． 证明如下：
∵PC⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PC⊥BD 而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE， 而AE⊂面ACE， ∴BD⊥AE．
（III）连接AC，交BD于O．
由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍， 设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角． 注意到B在面ACE上的射影为O，
，
，
∴，
∴θ=60°∴二面角D﹣AE﹣B是120°．
点评：本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用．
19．某校从2014-2015学年高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期2015届中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
专题：图表型；概率与统计． 分析：（I）根据频率=小矩形的高×组距，利用数据的频率之和为1求得a值；
（II）由频率分布直方图求得数学成绩不低于60分的概率，利用频数=样本容量×频率计算； （III）用列举法写出从第一组和第六组6名学生中选两名学生的所有结果，从中找出数学成绩之差的绝对值不大于10的结果，利用个数之比求概率． 解答： 解：（Ⅰ）根据数据的频率之和为1，得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1， ∴a=0.03；
（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85， ∴数学成绩不低于60分的人数为500×0.85=425人 （Ⅲ）数学成绩在 ∴
2
2
2
=﹣3c+b=0，
2
22
∴a=b+c=4c． ∴a=2c． 故椭圆C的离心率（II）由（1）知可得B
． ，得，
．
．
由题意知△ABF2为直角三角形，BF2为斜边， ∴△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣
，0），半径r=a．
D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于2a，
∴圆心到直线的距离为a，
∴
解得c=1，b=
．
，解得a=2，
∴椭圆C的方程为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的外接圆的性质、点到直线的距离公式、直角三角形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
21．设f（x）=﹣x+x+2ax
（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围． （2）当0＜a＜2时，f（x）在的最小值为﹣
，求f（x）在该区间上的最大值．
3
2
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0． （2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．
2
解答： 解：（1）f′（x）=﹣x+x+2a
f（x）在∴f′（x）＞0在
2
存在单调递增区间
有解
递减
．
∵f′（x）=﹣x+x+2a对称轴为∴∴解得
（2）当0＜a＜2时，△＞0； f′（x）=0得到两个根为∵∴
时，f′（x）＞0；
＜f（1）
时，f′（x）＜0
；
（舍）
当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a当x=4时最小∴所以当x=
=
解得a=1 时最大为
点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．
22．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
考点：函数模型的选择与应用． 专题：应用题．
2
分析：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价； （Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式时，
有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．
，根据销售的总
有解，等价于x＞25
解答： 解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为售的总收人不低于原收入，有
整理得x﹣65x+1000≤0， 解得25≤x≤40．
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （Ⅱ）依题意，x＞25时， 不等式
等价于x＞25时，∵
有解，
（当且仅当x=30时，等号成立），
有解，
2
，根据销
，
∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
点评：解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．
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