广西梧州市苍梧中学2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设命题p：∀x∈R，x+1＞0，则￢p为( ) A．∃x0∈R，x0+1＞0 C．∃x0∈R，x0+1＜0
2．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=( ) A．{x|x＞2}
3．下列函数为偶函数的是( ) A．f（x）=x﹣1
4．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x+
2
22
2
B．∃x0∈R，x0+1≤0 D．∀x∈R，x+1≤0
2
2
B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
B．f（x）=x+x
2
C．f（x）=2﹣2
x﹣x
D．f（x）=2+2
x﹣x
的离心率为( )
A．
B． C．或 D．或
5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
6．从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是( ) A．
7．角α的终边经过点A（﹣ A．﹣
B．
，a），且点A在抛物线y=﹣x的准线上，则sinα=( )
C．﹣
D．
2
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B． C． D．
8．条件p：＜2＜16，条件q：（x+2）（x+a）＜0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是( ) A．（4，+∞）
9．由直线y=x+1上的点向圆x﹣6x+y+8=0引切线，则切线长的最小值为( ) A．1
10．函数f（x）=e+x﹣2的零点所在的一个区间是( ) A．（﹣2，﹣1）
11．己知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜（）等于( )
）的部分图象如图所示，则f
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
x
2
2
x
B． D．（﹣∞，﹣4）
B．2 C． D．3
A．﹣
12．函数f（x）=x+x，x∈R，当数m的取值范围是( ) A．（0，1）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若平面向量=（2，1）和=（x，﹣3）互相平行，其中x∈R．则|+|=__________．
B．（﹣∞，0）
C．
D．（﹣∞，1）
3
B． C．﹣1 D．1
时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实
14．已知实数x，y满足，则Z=x﹣3y的最小值是__________．
15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=__________．
16．四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且底面△BCD的边长分别为
，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为__________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为（Ⅰ）求a，c的值； （Ⅱ）求
18．如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF=90°． （Ⅰ）求证：BE∥平面ADF； （Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB=的体积为
？
，EF=
，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F﹣BDE
的值．
，b=5，△ABC的面积为
． ，
，
19．某校2015届高三某班的一次测试成绩的频率分布表以及频率分布直方图中的部分数据如下，请根据此解答如下问题： （1）求班级的总人数；
（2）将频率分布表及频率分布直方图的空余位置补充完整； （3）若要从分数在 上的最大值．
21．已知椭圆C：相交于两点A，B． （1）求椭圆C的方程； （2）若点M在椭圆上且满足
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲 22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AB=6，BC=4，求AE．
，求直线L的斜率k的值．
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C
选修4-4：坐标系与参数方程 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1，将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线C2．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为
22
极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6． （Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
选修4-5：不等式选讲 24．选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣2a|，不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣2≤x≤6}． （1）求实数a的值；
（2）若存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立，求实数m的取值范围．
广西梧州市苍梧中学2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设命题p：∀x∈R，x+1＞0，则￢p为( ) A．∃x0∈R，x0+1＞0 B．∃x0∈R，x0+1≤0 C．∃x0∈R，x0+1＜0 D．∀x∈R，x+1≤0
考点：命题的否定． 专题：简易逻辑．
分析：题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项 解答： 解∵命题p：∀x∈R，x+1＞0，是一个特称命题． ∴￢p：∃x0∈R，x0+1≤0． 故选B．
2
2
2
2
2
2
2
点评：本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．
2．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=( ) A．{x|x＞2}
考点：交集及其运算． 专题：集合．
分析：直接利用交集运算求得答案．
解答： 解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}， ∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．
B．{x|x＞1}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
故选：C．
点评：本题考查交集及其运算，是基础的计算题．
3．下列函数为偶函数的是( ) A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x+x
考点：函数奇偶性的判断． 专题：计算题．
分析：根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）=f（x）是否成立，即可得答案．
解答： 解：根据题意，依次分析选项：
A、f（x）=x﹣1，其定义域为R，f（﹣x）=﹣x﹣1，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；
B、f（x）=x+x，其定义域为R，f（﹣x）=x﹣x，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；
C、f（x）=2﹣2，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣2，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意；
D、f（x）=2+2，其定义域为R，f（﹣x）=2+2，f（﹣x）=f（x），是偶函数，符合题意；
x
﹣x
﹣x
x
x
﹣x
﹣x
x
2
2
2
C．f（x）=2﹣2 D．f（x）=2+2
x﹣xx﹣x
故选：D．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域．
4．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x+
2
的离心率为( )
A．
B． C．或 D．或
考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质． 专题：计算题．
分析：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．
当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可． 解答： 解：依题意可知m=±
=±4
，e==则，e=
当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=故选D
点评：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．
5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
考点：空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离．
分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解答： 解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错； D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错． 故选B．
点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．
6．从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是( ) A．
考点：等可能事件的概率． 专题：计算题．
分析：3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，选派的都是男生的概率求法，可以先求出四位同学中先两位参加比赛的方法种数，再计算出只有男生参数的方法种数，由公式计算出概率，选出正确选项．
解答： 解：由题意3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，总的选法有C4=6种 两位选手都是男生的选法种数是C3=3种
故从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是= 考察四个选项，应选D 故选D
点评：本题考查等可能事件的概率，解题的关键是求出所有的基本事件数与所研究的事件“选派的都是男生”包含的基本事件数，正确理解题意，找出计数方法很关键．
7．角α的终边经过点A（﹣ A．﹣
考点：抛物线的简单性质；任意角的三角函数的定义．
B．
，a），且点A在抛物线y=﹣x的准线上，则sinα=( )
C．﹣
D．
2
2
2
B． C． D．
专题：计算题．
分析：先确定抛物线的准线方程，从而确定点A的坐标，利用三角函数的定义即可得到结论． 解答： 解：抛物线y=﹣x的准线方程为y=1 ∵点A（﹣∴a=1 ∴点A（﹣∴sinα=故选B．
点评：本题考查抛物线的几何性质，考查三角函数的定义，属于基础题．
8．条件p：＜2＜16，条件q：（x+2）（x+a）＜0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是( ) A．（4，+∞）
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑．
分析：先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分而不必要条件，确定实数m的取值范围．
解答： 解：由＜2＜16得﹣2＜x＜4，即p：﹣2＜x＜4， 方程：（x+2）（x+a）=0的两个根为﹣a，﹣2，
若﹣a＞﹣2，即a＜2时，条件q：（x+2）（x+a）＜0，等价为﹣2＜x＜﹣a， 若﹣a=﹣2，即a=2时，条件q：（x+2）（x+a）＜0，无解，
若﹣a＜﹣2，即a＞2时，条件q：（x+2）（x+a）＜0，等价为﹣a＜x＜﹣2， ∵p是q的充分而不必要条件， ∴
∴a＜﹣4， 故选：D
x
x
2
，a）在抛物线y=﹣x的准线上
2
，1）
B． D．（﹣∞，﹣4）
，即，
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用条件先求出p，q的等价条件，是解决本题的关键．
9．由直线y=x+1上的点向圆x﹣6x+y+8=0引切线，则切线长的最小值为( ) A．1
考点：圆的切线方程． 专题：直线与圆．
分析：由已知得切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d=
=2
2
2
2
B．2 C． D．3
，由勾股定理切线长最小值为：
2
2
2
=．
解答： 解：圆x﹣6x+y+8=0⇒（x﹣3）+y=1的圆心C（3，0），半径r=1， ∵半径一定，
∴切线最短则圆心和点的距离最小， 则此时就是C到x﹣y+1=0的距离 d=
=2
，
=
．
由勾股定理切线长最小值为：故选：C．
点评：本题考查圆的切线长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
10．函数f（x）=e+x﹣2的零点所在的一个区间是( ) A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0）
考点：函数零点的判定定理． 专题：函数的性质及应用．
分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．
解答： 解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上， 故选C．
x
C．（0，1） D．（1，2）
点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．
11．己知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜（）等于( )
）的部分图象如图所示，则f
A．﹣
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题：三角函数的图像与性质．
分析：由图象可得A=2，T=2，继而可得ω，由π•+φ=2kπ+得f（x）=2sin（πx+
），从而可求f（）的值．
（k∈Z）可求得φ，于是可
B．
C．﹣1
D．1
解答： 解：由函数的图象可得A=2， T=
=4（﹣）=2，解得ω=π；
∴f（x）=2sin（πx+φ）， 又π•+φ=2kπ+∴φ=2kπ+∴φ=
，
）， +
）=﹣2cos
=﹣
，
（k∈Z），
，
（k∈Z），而|φ|＜
∴f（x）=2sin（πx+∴f（）=2sin（故选：A．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得f（x）=2sin（πx+是关键，属于中档题．
12．函数f（x）=x+x，x∈R，当数m的取值范围是( ) A．（0，1）
考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合． 专题：计算题；压轴题．
B．（﹣∞，0）
C．
D．（﹣∞，1）
3
）
时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实
分析：由f（x）=x+x，可知f（x）为奇函数，增函数，得出msinθ＞m﹣1，根据sinθ∈，即可求解．
解答： 解：由f（x）=x+x，∴f（x）为奇函数，增函数，∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，
即f（msinθ）＞f（m﹣1）， ∴msinθ＞m﹣1，当
时，sinθ∈，
3
3
∴，解得m＜1，
故实数m的取值范围是（﹣∞，1）， 故选D．
点评：本题考查了函数恒成立的问题及函数的奇偶性与单调性，难度较大，关键是先判断函数的奇偶性与单调性．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若平面向量=（2，1）和=（x，﹣3）互相平行，其中x∈R．则|+|=2
考点：向量的模． 专题：平面向量及应用．
分析：利用向量共线定理、模的计算公式即可得出．
．
解答： 解：∵向量=（2，1）和=（x，﹣3）互相平行， ∴﹣3×2﹣x=0，解得x=﹣6． ∴
=（﹣4，﹣2），
=2
．
．
∴|+|=故答案为：2
点评：本题考查了向量共线定理、模的计算公式，属于基础题．
14．已知实数x，y满足，则Z=x﹣3y的最小值是﹣21．
考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用．
分析：画出满足约束条件表示的平可行域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x﹣3y中，求出z=x﹣3y的最小值．
解答： 解：满足约束条件 的可行域如下图示：
z=x﹣3y的最小值就是直线在y轴上的截距的﹣倍，
由图可知，z=x﹣3y经过 Z=x﹣3y有最小值﹣21． 故答案为：﹣21．
的交点A（3，8）时，
点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=﹣6．
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列．
分析：设等差数列{an}的公差为d，代入已知可解得a1和d，代入通项公式可得答案． 解答： 解：设等差数列{an}的公差为d， ∵S8=4a3，a7=﹣2， ∴8a1+
d=4（a1+2d），a7=a1+6d=﹣2，
解得a1=10，d=﹣2， ∴a9=10+8（﹣2）=﹣6 故答案为：﹣6
点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
16．四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且底面△BCD的边长分别为
，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为32π．
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
，，
分析：由题意可知，四面体是长方体的一个角，扩展为长方体，外接球相同，长方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．
解答： 解：由题意，四面体是长方体的一个角，扩展为长方体，外接球相同，长方体的对角线就是球的直径， 所以球的直径为：
，半径为2
）2
， =32π
外接球的表面积为：4π×（2故答案为：32π．
点评：本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积，本题的突破口在四面体是长方体的一个角，扩展的长方体与四面体有相同的外接球．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为（Ⅰ）求a，c的值； （Ⅱ）求
考点：解三角形；两角和与差的正弦函数． 专题：计算题．
分析：（Ⅰ）利用已知条件及三角形的面积公式求得a，进而利用余弦定理求得c． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的三边及余弦定理求得cosA的值，然后通过同角三角函数的基本关系求得sinA的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案． 解答： 解：（Ⅰ）由已知，因为 即 解得 a=8． 由余弦定理可得：所以 c=7．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理有
， ，
， ，
，b=5，
的值．
，b=5，△ABC的面积为
．
由于A是三角形的内角， 易知 所以
，
=
=
．
点评：本题主要考查了解三角形及正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生利用三角函数的基本性质处理边角问题的能力．
18．如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF=90°． （Ⅰ）求证：BE∥平面ADF； （Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB=的体积为
？
，EF=
，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F﹣BDE
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离．
分析：（I）过点E作EM∥CD，交FD于M，连接AM，可得四边形CEMD是平行四边形．结合题意得AB∥EM且AB=EM，所以四边形ABEM是平行四边形，得BE∥AM，从而得到BE∥平面ADF； （II）算出Rt△DEF中DE、DF的长，从而得到Rt△DEF的面积．再以B为顶点、△DEF为底面，得VB﹣DEF=S△DEF×BC，用等体积转换得VB﹣DEF=VF﹣BDE=三棱锥F﹣BDE的体积为
．
，从而算出BC的长，得当BC=时，
解答： 解：（I）过点E作EM∥CD，交FD于M，连接AM ∵CE∥DF，EM∥CD，∴四边形CEMD是平行四边形． 由此可得EM∥CD且EM=CD
∵AB∥CD且AB=CD，∴AB∥EM且AB=EM， 得四边形ABEM是平等四边形，∴BE∥AM，
∵BE⊈平面ADF，AM⊂平面ADF， ∴BE∥平面ADF； （II）由EF=
，EM=AB=
，得FM=3且∠EFM=30°
由∠DEF=90°，可得FD=4，从而DE=2
∵BC⊥CD，BC⊥DF，CD∩DF=D，∴BC⊥平面CDEF ∴VF﹣BDE=VB﹣DEF=S△DEF×BC ∵S△DEF=×DE×EF=
，VF﹣BDE=
，
∴BC==
综上所述，当BC=时，三棱锥F﹣BDE的体积为．
点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面平行并且求锥体的体积，着重考查了线面平行、垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．
19．某校2015届高三某班的一次测试成绩的频率分布表以及频率分布直方图中的部分数据如下，请根据此解答如下问题： （1）求班级的总人数；
（2）将频率分布表及频率分布直方图的空余位置补充完整； （3）若要从分数在
考点：频率分布直方图；频率分布表． 专题：计算题；概率与统计． 分析：（1）分数在上的最大值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：综合题．
分析：（1）求导函数，利用x=1是f（x）的极值点，即f′（1）=0，可求a的值； （2）利用（1，f（1））在x+y﹣3=0 上，可得f（1）=2，根据（1，2）在y=f（x）的图象上，结合f′（1）=﹣1，可确定函数的解析式，确定极值点与端点的函数值，即可求得f（x）在区间上的最大值．
解答： 解：（1）求导函数可得f′（x）=x﹣2ax+a﹣1
∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a﹣2a=0，∴a=0或2 （2）∵（1，f（1））在x+y﹣3=0 上，∴f（1）=2 ∵（1，2）在y=f（x）的图象上，∴2=﹣a+a﹣1+b 又∵f′（1）=﹣1，∴1﹣2a+a﹣1=﹣1，∴a﹣2a+1=0 ∴a=1，∴
∴f′（x）=x﹣2x
∴由f′（x）=0，可知x=0和x=2 是f（x） 的极值点
2
2
2222
2
∵，，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8
∴f（x）在区间上的最大值为8
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查导数的几何意义，解题的关键是运用导数，确定函数的解析式．
21．已知椭圆C：相交于两点A，B． （1）求椭圆C的方程； （2）若点M在椭圆上且满足
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）利用离心率计算公式e=
，b=1，及a=1+c，即可解得a．
2
2
=1（a＞b＞0）的离心率为，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C
，求直线L的斜率k的值．
（2）设l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知k．
解答： 解：（1）由e=故椭圆方程为
．
，b=1，a=1+c，解得a=2，
2
2
，即可表示出点M的坐标，代入椭圆方程即可得出
（2）设l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）．
联立 ，消去y解得 （1+4k）x+8kx=0，
22
因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=（8k）＞0， 所以x1+x2=
，x1×x2=0，
2
∵，∴
点M在椭圆上，则m+4n=4， ∴
2
22
，化简得
x1x2+4y1y2=x1x2+4（kx1+1）（kx2+1）=（1+4k）x1x2+4k（x1+x2）+4=0， ∴4k•（
）+4=0，解得k=±．
故直线l的斜率k=±．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、向量的运算法则等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲 22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AB=6，BC=4，求AE．
考点：圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段． 专题：证明题；综合题．
分析：（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．
（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．
解答： （1）证明：在△ABE和△ACD中， ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD 又∠BAE=∠EDC ∵BD∥MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直线是圆的切线， ∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△ABE≌△ACD
（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC ∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB ∴BC=BE=4
设AE=x，易证△ABE∽△DEC ∴∴DE=
又AE•EC=BE•ED EC=6﹣x ∴4×∴x=
即要求的AE的长是
点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查圆内接多边形的性质与判定，考查用方程思想解决几何中要求的线段的长，本题是一个应用知识点比较多的题目．
选修4-4：坐标系与参数方程 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1，将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线C2．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为
2
2
极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6． （Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式． 专题：计算题．
分析：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为2x﹣y﹣6=0，由于曲线C2的直角坐标方程为
，可得曲线C2的参数
方程．
（Ⅱ）设点P的坐标
，则点P到直线l的距离为：
，故当sin（60°﹣θ）=﹣1时，
可令θ=150°，点，从而得到d的最大值．
解答： 解：（Ⅰ） 由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣6=0， ∵曲线C2的直角坐标方程为：∴曲线C2的参数方程为：
， ．„
（Ⅱ）设点P的坐标，则点P到直线l的距离为：
，
故当sin（60°﹣θ）=﹣1时，可令θ=150°，点此时
．„
，
点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求出点P的坐标，是解题的难点．
选修4-5：不等式选讲 24．选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣2a|，不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣2≤x≤6}． （1）求实数a的值；
（2）若存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立，求实数m的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：计算题；综合题；不等式的解法及应用．
分析：（1）依题意，|x﹣2a|≤4的解集为{x|﹣2≤x≤6}，可解得a；
（2）设g（x）=f（x）+f（x+2），可求得g（x）=|x﹣2|+|x|=，求得g（x）的
取值范围即可．
解答： 解：（1）由f（x）≤4得|x﹣2a|≤4，解得2a﹣4≤x≤2a+4， 又已知不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣2≤x≤6}， 所以
解得a=1„
（2）由（Ⅰ）可知，f（x）=|x﹣2|， 设g（x）=f（x）+f（x+2），
即g（x）=|x﹣2|+|x|=，„
当x＜0时，g（x）＞2； 当0≤x≤2时，g（x）=2； 当x＞2时，g（x）＞2 综上，g（x）≥2„ 故m＞2„
点评：本题考查绝对值不等式的解法，理解“存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立”中的“存在”的含义是关键，也是难点，是易错点，需求得g（x）min，而非g（x）max，属于难题．
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