2016年广西桂林市、崇左市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知两集合A．[﹣2，0）B．
C．
，则A∩B=（ ） D．[1，+∞）
2．复数z=（a+i）（1﹣i），a∈R，i是虚数单位．若|z|=2，则a=（ ） A．1B．﹣1C．0D．±1
3．若向量，满足：||=1，（ +）⊥，（3+）⊥，则||=（ ） A．3B．
C．1D．
4．若函数f（x）=lnx﹣ax在区间（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（ ） A．[1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1] 5．=sinωx将函数f（x）（ω＞0）的图象向右平移对称，则ω的最小值是（ ） A． B．1C． D．2
6．一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
个单位长度，所得图象关于点
A．2πB．4πC．6+（2+）πD．（4+2）π
7．如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（ ）
第1页（共20页）
A．11B．10C．8D．7 8．不等式组
的解集记为D，下列四个命题中正确的是（ ）
A．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2B．∀（x，y）∈D，x+2y≥2 C．∀（x，y）∈D，x+2y≤3D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
9．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（ ） A． B． C． D．
10．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的6个顶点都在球O的球面上，若
，则球O的直径为（ ）
A．2B． C． D．4 11．已知F1，F2是双曲线
AB⊥AC，，
的两个焦点，以F1F2为直径的圆与
双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A． B． C．2D．5 12．=f设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=
﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0
恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ） A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，
）D．（
，2）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于 ．
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14．若点（n，3）在函数y=3x的图象上，则
的值是 ．
15．已知圆C：x2﹣2x+y2+4y+1=0，经过点P（3，4）的直线分别与圆C相切于点A、B，则三角形ABC的面积等于 ．
16．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点，且，则的最小值为 ．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°． （Ⅰ）求sin∠ABD的值； （Ⅱ）求△BCD的面积．
18．有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由550名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下： B C D E 组别 A 100 200 150 50 人数 50 （Ⅰ） 为了调查大众评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入表．
A B C D E 组别 50 100 200 150 50 人数 6 抽取人数 （Ⅱ） 在（Ⅰ）中，若A，C两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．设a＞0且a≠0，函数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（3，f（3））处切线的斜率； （2）求函数f（x）的极值点． 21．已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．
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（I）求动点P的轨迹C1的方程； （Ⅱ）设
，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线
Cl于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M． （1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． （Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
[选修4-5：不等式]
24．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．
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2016年广西桂林市、崇左市高考数学模拟试卷（文科）
（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知两集合A．[﹣2，0）B．
C．
，则A∩B=（ ） D．[1，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）≤0， 解得：﹣2≤x≤1，即A=[﹣2，1]，
由B中不等式解得：x＜0或x＞，即B=（﹣∞，0）∪（，+∞）， 则A∩B=[﹣2，0）∪（，1]，
故选：C．
2．复数z=（a+i）（1﹣i），a∈R，i是虚数单位．若|z|=2，则a=（ ） A．1B．﹣1C．0D．±1 【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i， ∴|z|=2=
，
化为a2=1． 解得a=±1． 故选：D．
3．若向量，满足：||=1，（ +）⊥，（3+）⊥，则||=（ ） A．3B．
C．1D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质求得1+
=0，3
+
=0，从而求得||的值．
【解答】解：∵向量，满足：||=1，（ +）⊥， ∴•（+）=
+
=1++
=0，∴=﹣3+
=﹣1． =0，
∵（3+）⊥，∴3
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∴=3，||=，
故选：B．
4．若函数f（x）=lnx﹣ax在区间（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（ ） A．[1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1] 【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求导数，利用函数f（x）在区间（1，+∞）上递减，可得f′（x）=﹣a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：∵f（x）=lnx﹣ax（a∈R）， ∴f′（x）=﹣a，
∵函数f（x）在区间（1，+∞）上递减， ∴f′（x）=﹣a≤0在区间（1，+∞）上恒成立， ∴a≥1， 故选：A．
5．=sinωx将函数f（x）（ω＞0）的图象向右平移对称，则ω的最小值是（ ） A． B．1C． D．2 【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，所得函数的解析式为y=sinω（x﹣再根据正弦函数的图象的对称性，求得ω的值．
【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移可得y=sinω（x﹣
）=sin（ωx﹣
）的图象， 对称，可得ω•
•﹣
=kπ，k∈Z， 个单位长度，
），
个单位长度，所得图象关于点
再根据所得图象关于点
求得ω=2k，k∈Z，结合所给的选项，可取ω=2， 故选：D．
6．一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
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A．2πB．4πC．6+（2+
）πD．（4+2）π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半． ∴该几何体的表面积=
+
+
=6+
π．
故选：C．
7．如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（ ）
A．11B．10C．8D．7 【考点】选择结构．
【分析】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．
【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=出x3=8． 故选C．
8．不等式组
的解集记为D，下列四个命题中正确的是（ ）
，解
A．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2B．∀（x，y）∈D，x+2y≥2 C．∀（x，y）∈D，x+2y≤3D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 【考点】集合的表示法；全称命题；特称命题．
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【分析】作出不等式组的表示的区域：对四个选项逐一分析即可．
【解答】解：作出不等式组的表示的区域：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域， 显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方， 故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立． 在直线x+2y=2的右上方区域，：（x，y）∈D，x+2y≥2， 故B∀（x，y）∈D，x+2y≥2错误．
由图知，∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误．
x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方， 故∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误． 故选：A
9．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（ ） A． B． C． D． 【考点】抛物线的简单性质．
【分析】如图所示，设直线AB的方程为：y=kk2x2﹣（2p+pk2）x+
，（k≠0）．与抛物线方程联立化为：
=0，由xA+=3，由|BC|=2|BF|，可得=，可得xB．再利
用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：如图所示， 设直线AB的方程为：y=k
，（k≠0）．
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联立
，化为：k2x2﹣（2p+pk2）x+
=0，
∴xAxB=
．
∵xA+=3， ∵|BC|=2|BF|， ∴
=，
可得xB=． ∴
解得p=． 故选：B．
=
，
10．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的6个顶点都在球O的球面上，若
，则球O的直径为（ ）
A．2B． C． D．4 【考点】球的体积和表面积．
AB⊥AC，，
【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，即可得出结论．
【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB⊥AC，，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，
△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心， 即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长， 因为
，BC=2，BC1=
=4，
，
所以球的直径为：4． 故选：D．
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11．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与
双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A． B． C．2D．5 【考点】双曲线的简单性质．
【分析】通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=
，由此求得离心率的值
【解答】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2， 解得m=4d=8a，c=
，故离心率e==5，
故选：D 12．=f设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=
﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0
恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ） A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，
）D．（
，2）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
=f【分析】由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）（2+x），
我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=）﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x）， ∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4 又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=
﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象如下图所示：
若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解 则loga4＜3，loga8＞3， 解得：故选D
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＜a＜2
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于 3 ． 【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的求和公式和已知条件可得公差d的方程，解方程可得d，由通项公式可得a6的值．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a1=2，S5=12， ∴S5=5a1+解得d=， ∴a6=2+5×=3， 故答案为：3．
14．若点（n，3）在函数y=3x的图象上，则【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】根据点（n，3）在函数y=3x的图象上求出n的值，再代人计算【解答】解：∵点（n，3）在函数y=3x的图象上， ∴3n=3， 解得n=1， ∴
=cos
=．
的值．
的值是 \\frac{1}{2} ．
d=10+10d=12，
故答案为：．
15．已知圆C：x2﹣2x+y2+4y+1=0，经过点P（3，4）的直线分别与圆C相切于点A、B，则三角形ABC的面积等于 \\frac{6}{5} ． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】圆C圆心C（1，﹣2），半径r=2，当过点P（3，4）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=3，把x=3代入圆C，得A（3，﹣2），当过点P（3，4）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x﹣3）+4，由圆心（1，﹣2）到切线距离d=
=2，得切线方程
为y=（x﹣3）+4，把y=ABC的面积．
代入圆C得B（﹣，﹣），由此能求出三角形
【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2+4y+1=0的圆心（1，﹣2），半径r=当过点P（3，4）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=3， 圆心C（1，﹣2）到x=3的距离为2=r，满足条件，
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=2，
把x=3代入圆C：x2﹣2x+y2+4y+1=0，得y2+4y+4=0，解得y=﹣2， ∴A（3，﹣2），
当过点P（3，4）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x﹣3）+4， 圆心（1，﹣2）到切线距离d=
=
=2，
解得k=，∴切线方程为y=（x﹣3）+4， 把y=
代入圆C：x2﹣2x+y2+4y+1=0，得25x2+30x+9=0，
解得x=﹣，y=﹣，∴B（﹣，﹣）， ∴
=（﹣
，），
=（﹣2，0），
cos＜，＞===，
∴sin＜∴S△ABC==
＞==，
=．
∴三角形ABC的面积等于． 故答案为：．
16．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点，且，则的最小值为 3 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
=0，求得x=y．化简【分析】建立坐标系，如图所示根据，可得为
（x﹣1）2+3，利用二次函数的性质求得它的最小值．
【解答】解：如图，分别以AB、AD所在的直线为x、y轴，建立坐标系， 如图所示： 则A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D （0，2）， 设点P（x，0）、Q（2，y），x、y∈[0，2]， ∴=（x，﹣2），=（2，y）．
=2x﹣2y=0，即x=y． 由，可得
=（x﹣2，﹣2）•（x﹣2，﹣y）=（x﹣2）2+2y=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3≥3， ∴
则的最小值为3， 故答案为：3．
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三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°． （Ⅰ）求sin∠ABD的值； （Ⅱ）求△BCD的面积．
【考点】三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）由余弦定理求得BD，再由正弦定理求得sin∠ABD的值；
（Ⅱ）由余弦定理求得cosC，进而求得sinC，最后根据三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）已知A=60°， 由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=7， 解得， 由正弦定理，所以
=
，
．
（Ⅱ）在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC， 所以7=4+4﹣2×2×2cosC，因为C∈（0，π），所以所以，△BCD的面积
， ，
．
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18．有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由550名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
B C D E 组别 A 100 200 150 50 人数 50 （Ⅰ） 为了调查大众评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入表．
A B C D E 组别 50 100 200 150 50 人数 6 抽取人数 （Ⅱ） 在（Ⅰ）中，若A，C两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出结果．
（Ⅱ）A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，求出支持1号歌手的概率，C组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，求出支持1号歌手的概率，由此能求出从A，C两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率．
【解答】解：（Ⅰ）答对一空得． A B C D E 组别 50 100 200 150 50 人数 6 12 9 3 抽取人数 3 （Ⅱ） A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为．…
C组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，支持1号歌手的概率为
．…
现从抽样评委A组3人，C组12人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率p=
=．…
∴从A，C两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为．…
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一
直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；
（II）过P作PO⊥AD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD，从而PO为四棱锥P﹣ABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：在△ABD中，由于AD=2，BD=4，， ∴AD2+BD2=AB2．故AD⊥BD．…
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥平面PAD．…
又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．…
（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD．∴PO为四棱锥P﹣ABCD的高．… 又△PAD是边长为2的等边三角形， ∴
．…
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形．… 在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为∴四边形ABCD的面积为故
．…
，… ．…
20．设a＞0且a≠0，函数
．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（3，f（3））处切线的斜率； （2）求函数f（x）的极值点．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）由已知中函数
f′（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f′（3）．
第15页（共20页）
，根据a=2，我们易求出f（3）及
（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点． 【解答】解：（1）由已知x＞0 当a=2时，所以
，
曲线y=f（x）在（3，f（3））处切线的斜率为，
（2）
由f'（x）=0得x=1或x=a， ①当0＜a＜1时，
当x∈（0，a）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增． 此时x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点 ②当a＞1时，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增 此时x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点
综上，当0＜a＜1时，x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点； 当a=1时，f（x）没有极值点；
当a＞1时，x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点
21．已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．
（I）求动点P的轨迹C1的方程； （Ⅱ）设
，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线
Cl于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）由已知可得动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2，由此能求出动点P的轨迹C1的方程．（Ⅱ）设N（t，t2），则PQ的方程为y=2tx﹣t2，联立方程组
，得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点
到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，
点P满足
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∴动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中∴动点P的轨迹C1的方程为
．…
，2c=2…
（Ⅱ）设N（t，t2），则PQ的方程为：y﹣t2=2t（x﹣t）， 整理，得y=2tx﹣t2，
，消去y整理得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，…
联立方程组
有，
而，
点M到PQ的高为，…
由即
代入化简得：
；
． ．
当且仅当t2=10时，S△MPQ可取最大值当直线的斜率不存在时，x=t，S△MPQ=∴S△MPQ最大值
．…
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M． （1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．
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【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=
，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的
判定定理得到O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用 OH=
和DO=
，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．
【解答】解：（1）连接BE、OE，则
∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC， 又∵D是BC的中点，
∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD． 又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB． 可得∠OED=∠OBD=90°，
因此，O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H，
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH． ∵OH=∴
，OD为△ABC的中位线，得DO=
，
，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． （Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
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【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．
（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．
【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上， ∴x2+
=1，即曲线C的方程为 x2+
=1，化为参数方程为
（0≤θ＜2π，θ
为参数）．
（Ⅱ）由，可得，
，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），
则线段P1P2的中点坐标为（，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0， 即 ρ=
．
[选修4-5：不等式]
24．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3． 【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3，即可求m的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证． 【解答】（Ⅰ）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3 当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立， 所以f（x）的最小值等于3，即m=3
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数， 所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9， 所以a2+b2+c2≥3
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2016年7月15日
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