杆件的强度计算公式

1。构件的承载能力，指的是什么？

答:构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。

（1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 （2）足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用.

（3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。

2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示? 答：内力在一点处的集度称为应力.

垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示;相切于截面的应力分量称切应力或切向应力,用τ表示。

应力的单位为Pa。

1 Pa=1 N／m2

工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa

1 GPa=109Pa

3.应力和内力的关系是什么?

答：内力在一点处的集度称为应力。

4.应变和变形有什么不同?

答:单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。

/

单位横向长度上的变形称横向线应变,以ε表示横向应变.

5。什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答:（1）线应变

单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为



ll

（4—2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位)的量。

（2）横向应变

拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为

aa1a 横向应变ε为

/

/

aa

（4—3）

//

杆件伸长时,横向减小，ε为负值；杆件压缩时，横向增大，ε为正值。因此,拉(压)杆的线应变ε与

/

横向应变ε的符号总是相反的。

（3）横向变形系数或泊松比

/

试验证明,当杆件应力不超过某一限度时,横向应变ε与线应变ε的绝对值之比为一常数.此比值称为横向变形系数或泊松比,用μ表示。

/

（4—4）

μ是无量纲的量，各种材料的μ值可由试验测定。

6.纵向应变和横向应变之间，有什么联系？

/

答：当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε与纵向应变ε的绝对值之比为一常数。此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。

/

（4—4) μ是无量纲的量,各种材料的μ值可由试验测定.

7。胡克定律表明了应力和应变的什么关系？又有什么应用条件？

答：它表明当应力不超过某一限度时，应力与应变成正比。胡克定律的应用条件：只适用于杆内应力未超过某一限度,此限度称为比例极限。

8。 胡克定律是如何表示的？简述其含义. 答：（1)胡克定律内力表达的形式

l

FNlEA

(4-6） 表明当杆件应力不超过某一限度时，其纵向变形与杆件的轴力及杆件长度成正比，与杆件的横截面面积成反比。

（2)胡克定律应力表达的形式

E

（4-7）

是胡克定律的另一表达形式,它表明当应力不超过某一限度时,应力与应变成正比。

比例系数E称为材料的弹性模量，从式(4—6)知，当其他条件相同时,材料的弹性模量越大，则变形越小，这说明弹性模量表征了材料抵抗弹性变形的能力.弹性模量的单位与应力的单位相同。

EA称为杆件的抗拉（压）刚度，它反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力.EA越大，杆件的变形就越小。

需特别注意的是:

（1)胡克定律只适用于杆内应力未超过某一限度，此限度称为比例极限(在第三节将作进一步说明）。

(2)当用于计算变形时，在杆长l内，它的轴力FN、材料E及截面面积A都应是常数。

9。何谓形心？如何判断形心的位置？ 答:截面的形心就是截面图形的几何中心。 判断形心的位置:

当截面具有两个对称轴时,二者的交点就是该截面的形心。据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；

只有一个对称轴的截面,其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定.

10。具有一个对称轴的图形,其形心有什么特征? 答:具有一个对称轴的图形，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点,则需计算才能确定。

11.简述形心坐标公式。 答：建筑工程中常用构件的截面形状，一般都可划分成几个简单的平面图形的组合,叫做组合图形。例如T形截面,可视为两个矩形的组合.若两个矩形的面积分别是A1和A2，它们的形心到坐标轴z的距离分别为y1和y2，则T形截面的形心坐标为

yCA1y1A2y2A1A2

更一般地,当组合图形可划分为若干个简单平面图形时，则有

yC (4-8） 式中yC——组合截面在y方向的形心坐标； Ai-—组合截面中各部分的截面面积;

yi——组合截面中各部分的截面在y方向的形心坐标。 同理可得

AyAiii

zC

AzAiii

（4-9）

12。何谓静矩？

答：平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的静矩.一般用S来表示，即：

SzAyC

SyAzC

即平面图形对z轴（或y轴)的静矩等于图形面积A与形心坐标yC(或zC)的乘积.当坐标轴通过图形的形心时，其静矩为零；反之，若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

13.组合图形的静矩该如何计算？

答：对组合图形，同理可得静矩的计算公式为

SzAiyCiSAz yiCi

（4-10）

式中Ai为各简单图形的面积，yCi、zCi为各简单图形形心的y坐标和z坐标.（4—10）式表明：组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和。

14。何谓惯性矩?、圆形截面的惯性矩公式如何表示？

答：截面图形内每一微面积dA与其到平面内任意座标轴z或y的距离平方乘积的总和，称为该截面图形对z轴或y轴的惯性矩，分别用符号Iz和Iy表示。即

Izy2dAAIyz2dAA 

(4—11）

不论座标轴取在截面的任何部位，y2和z2恒为正值，所以惯性矩恒为正值。惯性矩常用单位是m4 (米4）或mm4 (毫米4）。

15。试算出矩形、圆形的惯性矩. 答：（1)矩形截面

IzydAA2h2h2bh3ybdy122

图4—

10 图4—11 同理可求得

b3hIy12

对于边长为a的正方形截面，其惯性矩为

a4IzIy12

（2）圆形截面

图4-12

图4—12所示圆形截面,直径为d,半径为R,直径轴z和y为其对称轴,取微面

22dA2Rydy

积

积分得圆形截面的惯性矩为：

同理可求得

IzydA2yAR2R2Rydy22R44d464

Iyd464

16。试说出平行移轴公式每个量的计算方法。 答：（1）平行移轴公式

2IIaA z1z

(4-12a）

同得

理

Iy1Iyb2A

(4—12b)

公式4-12说明，截面图形对任一轴的惯性矩,等于其对平行于该轴的形心轴的惯性矩，再加上截面面积与两轴间距离平方的乘积，这就是惯性矩的平行移轴公式.

17.组合图形惯性矩的计算分哪几个步骤？

答：组合图形对某轴的惯性矩，等于组成它的各个简单图形对同一轴惯性矩之和. （1）求组合图形形心位置；

(2）求组合图与简单图形两轴间距离；

（3)利用平行移轴公式计算组合图形惯性矩。

18。低碳钢拉伸时,其过程可分为哪几个阶段?

答：根据曲线的变化情况，可以将低碳钢的应力-应变曲线分为四个阶段：弹性阶段,屈服阶段,强化阶段，颈缩阶段。

19。为什么说屈服强度与极限强度是材料强度的重要指标? 答：屈服强度与极限强度是材料强度的重要指标:

(1)当材料的应力达到屈服强度σs时,杆件虽未断裂，但产生了显著的变形，势必 影响结构的正常使用，所以屈服强度σs是衡量材料强度的一个重要指标。

(2）材料的应力达到强度极限σb时,出现颈缩现象并很快被拉断，所以强度极限σb 也是衡量材料强度的一个重要指标。

20。什么是试件拉断后的延伸率和截面收缩率?

答:（1)延伸率：试件拉断后，弹性变形消失,残留的变形称为塑性变形。试件的标距由原来的l变为l1，长度的改变量与原标距l之比的百分率，称为材料的延伸率,用符号δ表示。



l1l10000l

（4—14)

（2）截面收缩率：试件拉断后，断口处的截面面积为A1。截面的缩小量与原截面积A之比的百分率，称为材料的截面收缩率，用符号ψ表示。



AA110000A

(4—15）

21。 试比较塑性材料与脆性材料力学性能有何不同？

答:塑性材料的抗拉和抗压强度都很高，拉杆在断裂前变形明显，有屈服、颈缩等报警现象，可及时采取措施加以预防。

脆性材料其特点是抗压强度很高，但抗拉强度很低，脆性材料破坏前毫无预兆，突然断裂，令人措手不及.

22。许用应力的涵义是什么？

答:任何一种构件材料都存在着一个能承受应力的固有极限，称极限应力，用σ0表示。

为了保证构件能正常地工作,必须使构件工作时产生的实际应力不超过材料的极限应力。由于在实际设计计算时有许多不利因素无法预计，构件使用时又必须留有必要的安全度,因此规定将极限应力σ0缩小n倍作为衡量材料承载能力的依据，称为许用应力，以符号[σ］表示：

0n

(4—16） n为大于l的数，称为安全因数。

23.轴向拉伸(压缩）正应力计算公式是什么？并解释每个量的物理意义。 答:如用A表示杆件的横截面面积，轴力为FN,则杆件横截面上的正应力为



FNA

(4-17) 正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负.

24。轴向拉伸（压缩）杆的最大应力出现在什么截面？

答：当杆件受几个轴向外力作用时，由截面法可求得最大轴力FNmax，对等直杆来讲,杆件的最大正应力算式为：

maxFNmaxA

(4-18)

最大轴力所在的横截面称为危险截面，由式4—18算得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工作应力。

25。简述轴向拉伸(压缩）的强度计算

答:对于轴向拉、压杆件，为了保证杆件安全正常地工作，就必须满足下述条件

max

（4—19）

上式就是拉、压杆件的强度条件。对于等截面直杆，还可以根据公式(4—18)改为

FNmaxA

(4—20)

26。轴向拉伸（压缩)杆的强度条件可以解决哪三类问题？

答:在不同的工程实际情况下，可根据上述强度条件对拉，压杆件进行以下三方面的计算： （1）强度校核

如已知杆件截面尺寸、承受的荷载及材料的许用应力，就可以检验杆件是否安全,称为杆件的强度校核。

（2）选择截面尺寸

如已知杆件所承受的荷载和所选用的材料，要求按强度条件确定杆件横截面的面积或尺寸，则可将式（4—20）改为

AFNmax

（4—21） (3）确定允许荷载

如已知杆件所用的材料和杆件横截面面积，要求按强度条件来确定此杆所能容许的最大轴力，并根据内力和荷载的关系，计算出杆件所允许承受的荷载.则可将公式（4—20）改为

FNmaxA

（4-22)

27。平面弯曲的受力特征和变形特征是什么？ 答：平面弯曲的受力特征

梁弯曲时，横截面上一般产生两种内力——剪力和弯矩。与剪力对应的应力为切应力,与弯矩对应的应力为正应力。梁的横截面由中性轴将其分为上下两部分，一部分受拉，另一部分受压。

平面弯曲的变形特征

梁的侧面画上与梁轴线平行的水平纵向线和与纵向线垂直的竖直线： （1) 各竖直线段仍为直线，不过相互间转了一个角度； (2） 各纵向水平直线变为曲线,但仍与竖直线垂直;

(3) 向下凸一边的纵向线伸长，且越靠近梁下边缘伸长越多；向里凹进的一边的纵向线缩短，且越靠近梁的上边缘的缩短越多.

28. 梁发生纯弯曲变形后,可看到哪些现象？根据上述试验现象，可作出哪些分析和假设

答：梁变形后,可看到下列现象:

（1） 各竖直线段仍为直线,不过相互间转了一个角度； (2） 各纵向水平直线变为曲线，但仍与竖直线垂直；

(3） 向下凸一边的纵向线伸长，且越靠近梁下边缘伸长越多；向里凹进的一边的纵向线缩短，且越靠近梁的上边缘的缩短越多。

根据上述试验现象,可作出如下分析和假设：

（1） 平面假设:梁的横截面在变形后仍为一个平面,且与变形后的梁轴线垂直，只是转了一个角度；

（2） 单向受力假设：由于梁上部各层纵向纤维缩短，下部各层纵向纤维伸长,中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。

29.在推导梁的正应力计算公式时,要从几个方面去考虑?

答：在推导梁的正应力计算公式时，要从几何变形方面；应力与应变的物理关系；静力条件三方面去考虑。

30。 简述梁弯曲时横截面上任意一点的正应力计算公式，并说明其含义。正应力公式的适用条件如何？何谓抗弯刚度？

答：（1）梁弯曲时横截面上任意一点的正应力计算公式:

MyIz

(4—29）

此式表明：横截面上任意一点的正应力σ与该截面上的弯矩M和该点到中性轴的距离量y成正比，与横截面对中性轴的惯性矩Iz成反比.正应力沿截面高度成直线变化，离中性轴愈远正应力愈大，中性轴上的正应力等于零。梁的横截面由中性轴将其分为上下两部分，一部分受拉，另一部分受压.

（2）正应力公式的适用条件：

1)在公式推导过程中运用了虎克定律，因此只有在材料处于弹性范围时该式才适用。

2）在非纯弯曲情况下，即横截面同时存在弯矩和剪力时,由于剪力对正应力的影响很小,因此，对非纯弯曲的情况该式仍可适用。

3）公式虽按矩形截面梁推导出来，但对具有对称轴的其它截面，如T形、工字形、圆形等也都适用.

4)公式是在平面弯曲情况下推导出来的，但非平面弯曲的情况就不适用了。 （3)抗弯刚度：EIz表示梁抵抗弯曲变形的能力,称为梁的抗弯刚度.

31.正应力强度条件可以计算哪三类问题？ 答：梁的正应力强度计算公式即

max （4—33）

式中[σ］——弯曲时材料的许用正应力,可在有关规范中查到。 利用公式的强度条件，可进行以下三个方面的计算： （1） 强度校核

MmaxWz

（2) 选择截面尺寸

MmaxWz

Wz (3） 计算允许荷载

Mmax

MmaxWz

32。 提高梁抗弯强度的途径有哪些？ 答：提高梁抗弯强度的途径：

（1）选择合理的截面形状

Wz 1）根据抗弯截面模量与截面面积的比值A选择截面。工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩

形截面比圆形截面合理。

2）根据材料特性选择截面

对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如矩形、工字形、圆形等截面，使得上、下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，同时达到材料的许用应力值，比较合理。 对于抗拉和抗压强度不相等的脆性材料，最好选择不对称于中性轴的截面，如T字形、槽形（平放）等截面。使得截面受拉、受压的边缘到中性轴的距离与材料的抗拉、抗压的许用应力成正比。 (2）合理安排梁的受力状态，以降低弯矩最大值 1）合理布置梁的支座

以简支梁受均布荷载作用为例,若将两端支座各向中间移动0.2l则最大弯矩将减小为前者的1/5,梁的截面尺寸就可大大地减小. 2)适当增加梁的支座

由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，所以适当增加梁的支座,可以减小梁的跨度,从而降低最大弯矩值.

在可能的条件下，将集中荷载分散布置，可以降低梁的最大弯矩。 （3）采用变截面梁

为了充分利用材料，应当在弯矩较大处采用较大的截面,弯矩较小处采用较小的截面，使梁的各截面不相同。这种横截面沿着轴线变化的梁称为变截面梁。若使每一横截面上的最大正应力都恰好等于材料的许用应力[σ］，这样的梁称为等强度梁。等强度梁的Wz和M成正比变化.

33。 简述梁的切应力强度计算公式. 答：梁的切应力强度条件为

max

*FQmaxSzmaxIzb

(4-33） 式中 ［τ］--许用切应力；

*

Szmax—一截面中性轴以上（或以下）的面积对中性轴的静矩。

34. 在梁的强度计算中,如何考虑正应力和切应力两个强度条件？

答:在梁的强度计算中,必须同时满足正应力和切应力两个强度条件。但在一般情况下,梁的强度计算由正应力强度条件控制。因此通常先按正应力强度条件选择梁的截面尺寸，然后根据需要作切应力强度条件校核。对于细长梁,按正应力强度条件设计，一般都能满足切应力强度条件要求，就不必再作切应力强度校核。但在以下几种情况下，需作切应力强度校核. (1） 梁的跨度较小或在支座附近作用着较大荷载时,梁内可能出现弯矩较小而剪力很大的情况. (2) 某些组合截面梁，当腹板宽度很小,横截面上的切应力数值很大时.

（3) 木梁。在横力弯曲时，横截面中性轴上切应力较大，根据切应力的特点，梁的中性层上也产生相同值的切应力。由于木梁在顺纹方向的抗剪能力较差,有可能使木梁发生顺纹方向的剪切破坏.

35。 组合变形的计算主要利用什么原理？

答：杆件组合变形时的强度计算方法是前面在求内力时曾经介绍过的叠加法.即先将荷载分解成只产生基本变形时的荷载，并分别计算各基本变形所产生的应力，然后根据叠加原理将所求截面的应力相应地叠加，最后根据叠加结果建立强度条件。

36.压杆的稳定平衡和不稳定平衡指的是什么？如何区别？ 答：稳定平衡状态—-如某物体由于某种原因使其偏离它原来的平衡位置，而当这种原因消除后，它能够回到其原来的位置，也就是说这种平衡状态是经得起干扰的，是稳定的平衡状态。

不稳定平衡状态-—如某物体由于某种原因使其稍微偏离它原来的平衡位置，而这种原因消除后，它不但不能回到其原来的位置,而且继续增大偏离,显然，这种平衡状态是经不起干扰的，是不稳定的平衡状态。

37.什么叫柔度?它与哪些因素有关?

答：

li为压杆的长细比或柔度，为无量纲的量.

长细比柔度λ与压杆两端的支承情况、杆长、截面形状和尺寸等因素有关，它表示压杆的细长程度。长细比大，压杆细长，临界应力小,临界力也小，杆件容易丧失稳定。反之，长细比小，压杆粗而短，临界应力大，临界力也大，压杆就不容易丧失稳定。所以，长细比是影响压杆稳定的重要因素。

38.何谓临界力？影响临界力的因素有哪些? 答：压杆稳定或不稳定与所受的轴向压力的大小有关，设压杆稳定与不稳定的临界状态时所承受的轴向压力为临界压力或临界力,用符号FPcr表示。

影响压杆的临界力的因素很多，主要有杆件的长度、截面形状及大小、杆件的材料以及杆件两端的支承情况等因素.

39。简述欧拉公式及长度系数的常见取值。？

答：当材料处于弹性阶段时，细长压杆的临界力可用欧拉推导出的公式计算。

FPcr

2EI(l)2

(4—34) 式中 E——材料的弹性模量；

I——截面的最小惯性矩； l——杆件的长度；

μ——长度系数，其按压杆两端的支承形式而定。两端铰支为1；两端固定为0。5；一端固定，一端铰支为0。7;一端固定，一端自由为2。

40。 欧拉公式的适用范圈如何? 答：欧拉公式的适用范圈:

欧拉公式是在假定材料处于弹性范围内并服从虎克定律的前提下推导出来的，因此，压杆在失稳前的应力不得超过材料的比例极限σP，即

2E/PP

(4—36)

用λP来表示欧拉公式的适用范围，当λ≥λP时欧拉公式适用,当λ＜λP时欧拉公式不适用。这时压杆的临界应力采用经验公式来计算。我国根据试验得出经验公式为抛物线公式,即

其中σ0、k都是和材料有关的参数.如: Q235钢

16Mn钢

cr0k2

cr2350.006682 λ＜λP=123

cr3430.0142 λ＜λP=109

40. 压杆的稳定条件如何表示？

答：压杆的稳定条件，就是压杆的实际压应力不可超过材料的许可临界应力［σst]，即



FNstA

式中 FN——轴向压力；

A——杆件的横截面面积；

——折减系数,其值随长细比而变化,且是一个小于或等于1的数.

上式通常写成：

FNA

（4-37)

41.什么叫折减系数?

答:在压杆的稳定条件

st中,系数φ称为折减系数，其值随长细比而变化，且是一个小

于或等于1的数.常用材料的折减系数值列表，供计算时查用.

42.稳定性和强度有什么不同？

答：稳定性是要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 强度是要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。

43. 稳定条件的应用有哪三种情况? 答:稳定条件的应用，有如下三种情况 （1）稳定校核

对已知压杆的实际应力是否超过压杆稳定的许用应力进行验算,称为稳定校核。 (2）确定许可荷载

将公式4—37变换成FN≤Aφ[σ］，以计算压杆许可承受的压力。 （3）选择截面

A将公式4—37换成

，用来选择压杆的截面尺寸，但是在截面尺寸尚未确定的情况下，长

FN细比λ无法确定，无法从表中查出φ值.因此工程上采用试算法来进行截面选择工作，其步骤如下：

（1）先假定一个折减系数φ1(一般取φ1=0。5～0。6),由此可定出截面尺寸A1.

//11（2）按初选的截面尺寸A1计算i、λ，查出相应的.比较查出的与假设的φ1,若两者比较接

近,可对所选截面进行稳定校核。

/ （3）若1与φ1相差较大，可假设

211/2，重复（1)（2）步骤.直到求得的

n/与假设的φn

值接近为止.一般重复二、三次便可达到目的。

此外,在截面有削弱时，还应对净截面作强度校核。

43。提高压杆稳定性的措施有哪些？

答:提高压杆稳定性的中心问题，是提高杆件的临界力(或临界应力），可以从下列四方面考虑: 1.λ方面

对于一定材料制成的压杆，其临界应力与柔度λ的平方成反比，柔度越小，稳定性越好。为了减小柔度，可采取如下一些措施。

1)选择合理的截面形状

在截面积一定的情况下,要尽量增大惯性矩I。例如,采用空心截面(图4-45)或组合截面，尽量使截面材料远离中性轴.

当压杆在各个弯曲平面内的支承情况相同时，为避免在最小刚度平面内先发生失稳，应尽量使各个方向的惯性矩相同。例如采用圆形、方形截面。

若压杆的两个弯曲平面支承情况不同，则采用两个方向惯性矩不同的截面，与相应的支承情况对应。例如采用矩形、工字形截面。在具体确定截面尺寸时，抗弯刚度大的方向对应支承固结程度低的方向，抗弯刚度小的方向对应支承固结强的方向,尽可能使两个方向的柔度相等或接近，抗失稳的能力大体相同。

2)改善支承条件

因压杆两端支承越牢固,长度系数μ就越小，则柔度也小,从而临界应力就越大。故采用μ值小的支承形式可提高压杆的稳定性。 3)减小杆的长度

压杆临界力的大小与杆长平方成反比,缩小杆件长度可以大大提高临界力，即提高抵抗失稳的能力.因此压杆应尽量避免细而长。在可能时,在压杆中间增加支承，也能起到有效作用。 2。材料方面

在其它条件相同的情况下,选择高弹性模量的材料,可以提高压杆的稳定性.例如钢杆的临界力大于铜、铁、木杆的临界力。但应注意，对细长杆,临界应力与材料的强度指标无关,各种钢材的E值又大致是相等的,所以采用高强度钢材是不能提高压杆的稳定性的，反而造成浪费。对于中长杆,临界应力与材料强度有关,采用高强度钢材，提高了屈服极限σs。和比例极限σP，在一定程度上可以提高临界应力。