2008年北京市中考数学试题及答案(word版)

数 学 试 卷

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字．．母处涂黑．

1．6的绝对值等于（ ） A．6

B．

1 6C．1 6D．6

2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ） A．0.21610

5B．21.610

3

C．2.1610

3

D．2.1610

43．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，50 5．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ）

A．

1 5B．

2 5C．

1 2D．

3 5

7．若x2y30，则xy的值为（ ）

A．8 B．6 C．5 D．6

8．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ） O

O O O O

P P P P P M M M M M M M M M D． B． A． C．

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二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数y1中，自变量x的取值范围是 ． 2x132A D B

E C

10．分解因式：aab ．

11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， 若DE2cm，则BC cm．

b2b5b8b1112．一组按规律排列的式子：，3，3，4，…（ab0），其中第7个式子是 ，第n个

aaaa式子是 （n为正整数）．

三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）

1计算：82sin45(2)．

301 14．（本小题满分5分）

解不等式5x12≤2(4x3)，并把它的解集在数轴上表示出来． 15．（本小题满分5分）

已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，

B

ABCE，BCED． 求证：ACCD． 证明：

3 2 1 0 1 2 3 A C E

D

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16．（本小题满分5分）

如图，已知直线ykx3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标． ykx3 y 解： 17．（本小题满分5分） 已知x3y0，求

2xyx22xyy2(xy)的值． 解：

四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABAC，B45，BC42，求DC的长．

解：

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M 1 2 O 1 x A D AD2，B C 19．（本小题满分5分）

已知：如图，在Rt△ABC中，C90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的D 圆与AC，AB分别交于点D，E，且CBDA． （1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论；

A B

E （2）若AD:AO8:5，BC2，求BD的长． O 解：（1）

（2）

五、解答题（本题满分6分）

20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：

“限塑令”实施后，使用各种

“限塑令”实施前，平均一次购物使购物袋的人数分布统计图 用不同数量塑料购物袋的人数统计图 ．．其它 人数／位 5% 收费塑料购物袋 _______％ 40 37 35 30 押金式环保袋 26 25 24% 20 15 11 9 10 4 3 5 自备袋 0 “限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表 1 2 3 4 5 6 7 塑料袋数／个 46% 图2 处理方式 图1 直接丢弃 直接做垃圾袋 再次购物使用其它 选该项的人数占 5% 35% 49% 11% 总人数的百分比 请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？

C 4 / 17

（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对．．．．．．．．．．．环境保护带来积极的影响． 解：（1）

（2）

六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题： 京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预 计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 解： 22．（本小题满分4分）

已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DEBC于点E，过点G作GFBC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A，B，C处．若点A，B，C在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△ABC（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．

A A

D G D G

A A C B E CB F C 图1 B E C B F

图2

（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形ABC的面积； （2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形ABC存在．试用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．

5 / 17

A A

C C B B

备用图 备用图

解：（1）重叠三角形ABC的面积为 ；

（2）用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积为 ；m的取值范围为 ．

七、解答题（本题满分7分）

23．已知：关于x的一元二次方程mx2(3m2)x2m20(m0)． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2）．若y是关于m的函数，且yx22x1，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m． （1）证明：

（2）解：

（3）解：

y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x 6 / 17

八、解答题（本题满分7分）

24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，将直线

y 4 3 2 1 1 2 3 4 x

ykx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．

（1）求直线BC及抛物线的解析式；

-2 -1 O （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APDACB，求点P的坐标； （3）连结CD，求OCA与OCD两角和的度数． 解：（1）

（2）

（3）

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-1 -2 九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC．若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及

PG的值． PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

C D C D

P G F P

G F

B A E A B

图1 图2 E

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

PG的值； PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及

在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中ABCBEF2(090)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题

PG的值（用含的式子表示）． PCPG ． 解：（1）线段PG与PC的位置关系是 ；PC中的其他条件不变，请你直接写出（2）

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2008年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名． 2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．

3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 题号 答案

1 A 2 D 3 C 4 C 5 B 6 B 7 B 8 D 第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 题号 答案 9 10 11 4 12 1x 2a(ab)(ab) b207 ab3n1(1) nan三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）

1解：82sin45(2π)

3012222·················································································· 4分 13 ·

222． ·································································································· 5分

14．（本小题满分5分）

解：去括号，得5x12≤8x6． ··································································· 1分 移项，得5x8x≤612． ·········································································· 2分 合并，得3x≤6． ······················································································· 3分 系数化为1，得x≥2． ················································································ 4分 不等式的解集在数轴上表示如下： 3 2 1 0 1 2 3 ·················································································································· 5分 15．（本小题满分5分） 证明：AB∥ED，

9 / 17

BE． ······························································································ 2分 在△ABC和△CED中，

ABCE， BE，BCED，△ABC≌△CED． ··················································································· 4分 ACCD． ······························································································ 5分

16．（本小题满分5分）

解：由图象可知，点M(2，············································ 1分 1)在直线ykx3上， ·

2k31． 解得k2． ······························································································· 2分

····································································· 3分 直线的解析式为y2x3． ·令y0，可得x3． 23······························································ 4分 0． ·直线与x轴的交点坐标为，2令x0，可得y3．

······························································· 5分 3)． ·直线与y轴的交点坐标为(0，17．（本小题满分5分） 解：

2xy(xy) 22x2xyy2xy(xy) ························································································· 2分 2(xy)2xy． ·································································································· 3分 xy当x3y0时，x3y．·············································································· 4分

原式6yy7y7． ·············································································· 5分

3yy2y2四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）

解法一：如图1，分别过点A，D作AEBC于点E， DFBC于点F． ······································ 1分 AE∥DF．

B 10 / 17

A D

E F 图1

C

又AD∥BC，

四边形AEFD是矩形．

···································· 2分 EFAD2． ·

ABAC，B45，BC42， ABAC．

1AEECBC22．

2DFAE22，

···················································································· 4分 CFECEF2 ·在Rt△DFC中，DFC90，

DCDF2CF2(22)2(2)210． ············································ 5分

解法二：如图2，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F． ···················· 1分

ABAC，

AEDBAC90． AD∥BC，

A E B F

图2

D

DAE180BBAC45．

在Rt△ABC中，BAC90，B45，BC42，

C

ACBCsin45422································································· 2分 4 2在Rt△ADE中，AED90，DAE45，AD2，

DEAE1．

CEACAE3． ·················································································· 4分

在Rt△DEC中，CED90，

························································ 5分 DCDE2CE2123210． ·

19． （本小题满分5分） 解：（1）直线BD与O相切． ········································································ 1分 证明：如图1，连结OD． OAOD， AADO．

C D A

11 / 17

E 图1 B

C90， CBDCDB90．

O 又

CBDA，

ADOCDB90． ODB90．

················································································ 2分 直线BD与O相切． ·（2）解法一：如图1，连结DE．

AE是O的直径， ADE90．

AD:AO8:5，

AD4cosA． ····················································································· 3分

AE5C90，CBDA，

BC4． ·············································································· 4分 BD55BC2， BD． ····································································· 5分

21解法二：如图2，过点O作OHAD于点H． AHDHAD．

2C AD:AO8:5，

AH4cosA． ···················· 3分 D AO5cosCBDH C90，CBDA， cosCBDBC4． ································· 4分 BD5A

O 图2 B

BC2，

5BD． ································································································· 5分

2五、解答题（本题满分6分） 解：（1）补全图1见下图． ·············································································· 1分 “限塑令”实施前，平均一次购物使 用不同数量塑料购物袋的人数统计图 ．． 人数／位

40 37 35 30 26

25 20 15 11 10 9 10 4 3 5

0 1 2 3 4 5 6 7 塑料袋数／个

图1

12 / 17

9137226311410546373003（个）．

100100这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ································ 3分

200036000．

估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ········································ 4分 （2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ······························· 5分

根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． 6分

六、解答题（共2道小题，共9分）

21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(x40)千米． ·························································································· 1分

3061x(x40)． ··································································· 3分 602解得x200． ····························································································· 4分

依题意，得

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ····························· 5分 22．解：（1）重叠三角形ABC的面积为3． ·················································· 1分 （2）用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积为3(4m)2； ······················ 2分

m的取值范围为

8≤m4． ·········································································· 4分 3七、解答题（本题满分7分） 23．（1）证明：

mx2(3m2)x2m20是关于x的一元二次方程，

[(3m2)]24m(2m2)m24m4(m2)2．

2当m0时，(m2)0，即0．

······································································· 2分 方程有两个不相等的实数根． ·

(3m2)(m2)（2）解：由求根公式，得x．

2m2m2x或x1． ·················································································· 3分

mm0，

2m22(m1)1．

mmx1x2， x11，x22m2． ················································································ 4分 m2m22y yx22x121． mm4 3 2 1 y2m(m0)

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2(m0) mx -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 y即y2(m0)为所求． ························ 5分 m（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出

y2(m0)与y2m(m0)的图象． m ····························································· 6分 由图象可得，当m≥1时，y≤2m． ··········· 7分 八、解答题（本题满分7分） 24．解：（1）

ykx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，

C(0，3)．

设直线BC的解析式为ykx3．

B(3，0)在直线BC上， 3k30． 解得k1．

································································· 1分 直线BC的解析式为yx3． ·抛物线yx2bxc过点B，C，

93bc0， c3．b4，解得

c3．······························································ 2分 抛物线的解析式为yx24x3． ·（2）由yx4x3．

2y 4 3 C 2 1 -2 -1 O -1 -2 A P E B 1 2 F 3 4 D P 图1

x

1)，A(1，0)． 可得D(2，OB3，OC3，OA1，AB2．

可得△OBC是等腰直角三角形．

OBC45，CB32．

如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，

1AB1． 2过点A作AEBC于点E． AFAEB90．

14 / 17

可得BEAE2，CE22．

在△AEC与△AFP中，AECAFP90，ACEAPF，

△AEC∽△AFP．

AECE222，． AFPF1PF解得PF2．

点P在抛物线的对称轴上，

··································································· 5分 2)或(2，2)． ·点P的坐标为(2，，0)关于y轴的对称点A，则A(1，（3）解法一：如图2，作点A(10)．

连结AC，AD，

可得ACAC10，OCAOCA． 由勾股定理可得CD20，AD10． 又AC10，

222y 4 3 C 2 1 A A B -1 O 1 2 F 3 4 -1 D -2 图2

x

AD2AC2CD2．

△ADC是等腰直角三角形，CAD90，

DCA45．

OCAOCD45． OCAOCD45．

即OCA与OCD两角和的度数为45． ························································· 7分 y 解法二：如图3，连结BD．

4 同解法一可得CD20，AC10． 3 C 2 在Rt△DBF中，DFB90，BFDF1，

1 -2 -1 O -1 -2 A B 1 2 F 3 4 D 图3

x

DBDF2BF22．

在△CBD和△COA中，

DB2BC32CD202，2，2． AO1OC3CA1015 / 17

DBBCCD． AOOCCA△CBD∽△COA． BCDOCA．

OCB45，

OCAOCD45．

即OCA与OCD两角和的度数为45． ························································· 7分 九、解答题（本题满分8分）

25．解：（1）线段PG与PC的位置关系是PGPC；

PGPC································································································ 2分 3． ·

（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH，CG． P是线段DF的中点， FPDP．

由题意可知AD∥FG． GFPHDP．

GPFHPD， △GFP≌△HDP．

GPHP，GFHD． 四边形ABCD是菱形，

D H

A

P

C

G

B

E

F

CDCB，HDCABC60．

由ABCBEF60，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上， 可得GBC60．

HDCGBC． 四边形BEFG是菱形， GFGB． HDGB．

△HDC≌△GBC．

CHCG，DCHBCG．

DCHHCBBCGHCB120．

即HCG120．

CHCG，PHPG，

PGPC，GCPHCP60．

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PG3． ······························································································ 6分 PCPGtan(90)． ·（3）············································································ 8分 PC

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