圆周运动中的临界问题
1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题
⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况
v R 绳 R v R 杆 O v0
图 1
图 2
图 3
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v临界＝Rg
②能过最高点的条件：v≥Rg ，当v＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。 ⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力
①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg
②当0＜v＜Rg 时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小 ③当v＝Rg 时，N＝0
④当v＞Rg ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大
例1 （99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）
A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力 C、a处为推力，b处为拉力 D、a处为推力，b处为推力
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O b a 图 4
例2 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到 （ ）
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力
m A L O B、6.0N的压力 D、24N的压力
例3 长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时 ②当A的速率v2＝4m／s时
2、在水平面内作圆周运动的临界问题
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
例4 如图6所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？
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30° B 45° C
A 图 5
图 6
例5 如图7所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m／s2）说明：一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析两个临界状态。
m 图 7
M r o
3、巩固练习
3
1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m／s时，车对桥的压力为车重的 。如果使汽
4车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）
A、15 m／s
2、如图8所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求：
⑴当转盘角速度ω1＝⑵当转盘角速度ω2＝ 三、小结
1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。 2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。
μg
时，细绳的拉力T1。 2r
3μg
时，细绳的拉力T2。 2r
ω r B、20 m／s C、25 m／s D、30m／s
o 图 8
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答案
例1分析：答案A是正确的，只要小球在最高点b的速度大于gL ，其中L是杆的长；答案B也
是正确的，此时小球的速度有0＜v＜gL ；答案C、D肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。
例2解法：小球在A点的速度大于gL 时，杆受到拉力，小于gL 时，杆受压力。
V0=gL ＝10×0.5 m／s＝5 m／s
由于v＝2.0 m／s＜5 m／s，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。 小球受重力mg和细杆的支持力N 由牛顿第二定律 mg－N＝m
v2 L
v2
N＝mg－m ＝6.0N 故应选 B。
L
例3
解法一：（同上例） 小球的速度大于5 m／s时受拉力，小于5 m／s时受压力。
①当v1＝1m／s＜5 m／s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力N 由牛顿第二定律 mg－N＝m
v2
L
N
v2
N＝mg－m ＝16N
L
mg 即杆受小球的压力16N。
②当v2＝4m／s＞5 m／s时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F 由牛顿第二定律 mg＋F＝m
v2 L
mg v2
F＝m －mg＝44N
L即杆受小球的拉力44N。
F 解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者
是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。
由牛顿第二定律 mg＋F＝m
v2 L
v2
得到 F＝m（ －g） L
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当v1＝1m／s时，F1＝－16N F1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小
球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。
当v2＝4m／s时，F2＝44N。 F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小
球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。
例4解析：①当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当ω逐渐增大到30°时，
BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为ω1，则有：
TACcos30°＝mg
TACsin30°＝mω12Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω1＝2.4 rad／s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到ω2时，TAC＝0（这又是一个临界状态），则有： TBCcos45°＝mg
TBCsin45°＝mω22Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω2＝3.16 rad／s
所以 当ω满足 2.4 rad／s≤ω≤3.16 rad／s，AC、BC两绳始终张紧。 本题所给条件 ω＝3 rad／s，此时两绳拉力TAC 、TBC都存在。
TACsin30°＋TBCsin45°＝mω2Lsin30° TACcos30°＋TBCcos45°＝mg
将数据代入上面两式解得 TAC＝0.27N， TBC＝1.09N
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s时，TBC＝0，AC与轴的夹角小于30°。
如果ω＞3.16rad／s时，TAC＝0，BC与轴的夹角大于45
例5解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而M与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。
此时，对M运用牛顿第二定律。
有 T－fm＝Mω12r 且 T＝mg 解得 ω1＝2.9 rad／s
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m 图 7
M r o
当ω为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N。
再对M运用牛顿第二定律。 有 T＋fm＝Mω22r 解得 ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
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