因式分解方法精讲及练习

知识要点:

分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，它的对象为一个多项式，分解因式的结果是整式的积的形式，即结果为单项式乘以多项式或多项式乘以多项式的形式。 说明：(1) 分解的对象是多项式，结果要以乘积的形式出现；

(2) 每个因式必须是整式，且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数； (3) 分解因式要彻底，直到不能再分解为止。 分解因式与整式的乘法关系: 互逆运算。

因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法，分组分解法。 【提公因式法 】

确定公因式的数字因数，当各项系数是整数时，各项系数的最大公约数就是公因式的系数；（第一项系数为负，一般提出负号）；确定公因式的字母及其指数，公因式的字母应是各项都含有的字母（有时为多项式），其指数取最低的。

例1、 分解下列因式：（1）ma+mb; (2)m(a-b)+n(b-a); (3) 2ab10ab2ab。 例2、分解下列各式：

（1）12xy2(ab)224x2y2(ba)218xy(ba)3 ； （2）(a2abac)(abb2bc)(c2cacb)。 【练习】

（1）8a3b212ab3c6a3b2c （2）4mn12mn2mn （3) 3x(x2)(2x) （4）8a(xa)4b(ax)6c(xa)

2332342322121a(x-2a)2-a(2a-x)3 2417171719.82.5 (7) 57.6×1.6+28.8×36.8-14.4× （8）．13.7313131（5）4q(1p)2(p1) (6)

32【公式法】

平方差公式：a－b＝ .完全平方公式：a±2ab＋b＝ . 立方和（差）公式ab(ab)(aabb) 例3、把下列各式分解因式：

22（1） (x1)b(1x)； （2）9ma36ma36m ；（3）9(pq)6(pq)1。

22222

2

2

2

3322 1

【练习】

（1）4m9n； （2）9(mn)216(mn)2； （3）m16n；

(4) a2(x-y)+b2(y-x) （5）x5y3x3y5 （6）x5(x2y)x2(2yx) (7)-3ma3+6ma2-3ma （8）(xy)210(xy)25 (9)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81 （10）4a2b2(a2b2)2 （11）；(c2a2b2)24a2b2 （12） (x2+y2)2-4x2y2 （13）已知(4x-2y-1)2+xy2=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值

2244（14）如果9xkx25是一个完全平方式，那么k的值是多少

（13）已知：x

【分组分解法】（原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式） 例4、分解因式：amanbmbn 例5、分解因式：x2y2axay 练习：分解因式1、aabacbc 2、xyxy1 综合练习：

（1）x3x2yxy2y3 （2）axbxbxaxab

22（3）x26xy9y216a28a1 （4）a6ab12b9b4a

4322222（5）a2aa9 （6）4ax4aybxby

2222（7）x2xyxzyzy （8）a2ab2b2ab1

（9）y(y2)(m1)(m1) （10）(ac)(ac)b(b2a)

【十字相乘法】

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 十字相乘基本规律：

凡是能十字相乘的二次三项式ax+bx+c，都要求 b4ac0而且是一个完全平方数。

2

2113，求x44的值 xx22222例6、分解因式：x5x6 分解因式：x7x6

22 2

分解因式 x23x10 分解因式 x29x10

（二）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：a28ab128b2 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b

练习、分解因式(1)x23xy2y2 (2)m26mn8n2 (3)a2ab6b2 （三）二次项系数不为1的二次三项式———ax2bxc 条件：（1）aa1a2 a1 c1 （2）cc1c2 a2 c2 （3）ba1c2a2c1 ba1c2a2c1 分解结果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2) （四）二次项系数不为1的齐次多项式（略） 【练习】

分解因式：(1)x214x24 (2)a215a36 (3)x24x5

(3)x22x15； (4) x23x10 (5)x45x236 (6)(x23)24x2 (7)x25xy6y2． (8)2x215x7 (9) 3a28a4 (10) 3x211x10(11)x22xyy25x5y6 (12) (x2x)217(x2x)60 (13)x2(x2)29

【换元法】换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。

整体换元：（1）(a23a2)(a23a4)16. （2） (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120 双换元：（1）

(bc)24(ca)(ab). （2） (x2xyy2)24xy(x2y2) 均值换元：（1）(a1)(a3)(a5)(a7)15.

3

分解因式综合练习 一、选择题

1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

(A)(a+3)(a-3)=a2-9 (B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1 (C)a2b+ab2=ab(a+b) (D)x2+1=x(x+2.下列各式的因式分解中正确的是（ ）

(A)-a2+ab-ac= -a(a+b-c) (B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy) (D)

1) x

(C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b)

12121xy+xy=xy(x+y) 2223.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）

(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)(m2-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ）

(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4

5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）

m2n222222n1 (A)m1 (B)x2xyy (C)a14ab49b (D)

4936.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）

(A)4x (B)-4x (C)4x4 (D)-4x4 7.下列分解因式错误的是（ ）

(A)15a2+5a=5a(3a+1) (B)-x2-y2= -(x2-y2)= -(x+y)(x-y) (C)k(x+y)+x+y=(k+1)(x+y) (D)a3-2a2+a=a(a-1)2

8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）

(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2

9.下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）

(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③

10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k整除，则k等于（ ） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 二、填空题

11.分解因式：m3-4m= .

12.已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为 .

13.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 .

14.若ax2+24x+b=(mx-3)2，则a= ，b= ，m= . (第15题图)

15.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 . 三、(每小题6分，共24分)

16.分解因式：(1)-4x3+16x2-26x (2)

121a(x-2a)2-a(2a-x)3 24

（3）56x3yz+14x2y2z－21xy2z2 (4)mn(m－n)－m(n－m)

4

17.分解因式：(1) 4xy–(x2-4y2) (2)-

11(2a-b)2+4(a -b)2 42

18.分解因式：(1)-3ma3+6ma2-12ma (2) a2(x-y)+b2(y-x)

19、分解因式

（1）5(xy)310(yx)2； （2）18b(ab)212(ab)3； （3）

2a(xa)4b(ax)6c(xa)；

20.分解因式：(1)

122

axy+2axy+2a (2)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81 (3) –2x2n-4xn 2

21．将下列各式分解因式：

（1）4m9n； （2）9(mn)216(mn)2； （3）m16n；

2b； 22．分解因式（1）(xy)10(xy)25； （2）16a72ab8142242244

23.用简便方法计算：

(1)57.6×1.6+28.8×36.8-14.4×80 （3）．13.7

(2)39×37-13×34

17171719.82.5 313131

24．试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍。

25．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板四角，各剪去一个边长为 b(b<式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积。

26．将下列各式分解因式

（1）4ab(ab) （2）；(cab)4ab

22222222222a)厘米的正方形，利用因2a 5 b (3) (1a2)(1b2)(a21)2(b21)2 (4)(axby)2(aybx)22(axby)(aybx)

(5)625b4(ab)4 （6） (x2+y2)2-4x2y2

27.已知(4x-2y-1)2+xy2=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值.

28．已知：a=10000，b=9999，求a2+b2－2ab－6a+6b+9的值。

29．证明58-1解被20∽30之间的两个整数整除

30..观察下列各式： 12+(1×2)2+22=9=32 22+(2×3)2+32=49=72 32+(3×4)2+42=169=132 ……

你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理.

31阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 . (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).

32．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0。探索△ABC的形状，并说明理由。

33．阅读下列计算过程：

99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=100 2=10 4 1．计算：

999×999+1999=____________=_______________=_____________=_____________； 9999×9999+19999=__________=_______________=______________=_______________。 2．猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？写出计算过程。

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