高三数学一轮复习精品教案1：两直线的位置关系教学设计

第二节两直线的位置关系

1．两直线的位置关系

方 程 相 交 垂 直 斜截式 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 k1≠k2 1k1＝－或 k2k1k2＝－1 k1＝k2 且b1≠b2 一般式 2A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B1≠0) 2A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B2≠0) A1B2－A2B1≠0 当A2B2≠0时，记为A1≠B1 A2B2A1A2＋B1B2＝0 当B1B2≠0时，记为A1·A2＝－1 B1B2A1B2－A2B1＝0，A1B2－A2B1＝0，或 B2C1－B1C2≠0A1C2－A2C1≠0 平 行 2．两直线的交点 当A2B2C2≠0时，记为A1＝B1≠C1 A2B2C2设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标

A1x＋B1y＋C1＝0，

就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交

A2x＋B2y＋C2＝0

点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．

3．几种距离 (1)两点间的距离：

平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 d(A，B)＝|AB|＝

x1－x2

2＋

y1－y22.

(2)点到直线的距离：

|Ax1＋By1＋C|点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 22

A＋B(3)两条平行线间的距离：

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝

|C1－C2|A2＋B2

.

1

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1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．

2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．

『试一试』

1．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 6m14『解析』：∵＝≠，

34－3

∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.

『答案』：2

2．已知p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不必要也不充分”)．

『解析』：由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.

『答案』：充要

1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法

与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用

对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． 『练一练』

1．点(2,3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．

b－3

＝1，『解析』：设对称点为(a，b)，则

a－2a＝－4，解得

b＝－3.

|－3－7|32＋42

a＋2b＋3

＋＋1＝0， 22

『答案』：(－4，－3)

2．已知直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．

2

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3

『解析』：由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－，由点斜式可得

23

直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.

2

『答案』：3x＋2y－1＝0

考点一 两直线平行与垂直 1．(2014·镇江期末)已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.

『解析』：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2的充要条件是A1A2

＋B1B2＝0，

3所以有2a＋3(a－1)＝0，所以a＝.

53

『答案』：

5

2．(2014·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知m为实数，直线l1：mx＋y＋3＝0，l2：(3m－2)x＋my＋2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．

『解析』：由两直线平行可得m2－(3m－2)＝0，解得m＝1或m＝2.将m＝1代入可得l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋2＝0，易知l1与l2不重合；将m＝2代入可得l1：2x＋y＋3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，易知l1与l2不重合，故两直线平行的充要条件为m＝1或m＝2，故m＝1是其成立的充分不必要条件．

『答案』：充分不必要

3．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．

x－2y＋4＝0，x＝0，

『解析』：法一：由方程组得即P(0,2)． x＋y－2＝0，y＝2，

4

∵l⊥l3，∴直线l的斜率k1＝－，

34

∴直线l的方程为y－2＝－x，

3即4x＋3y－6＝0.

法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，

∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.

3

高三数学一轮复习教案 ∵l与l3垂直，

∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，

∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 『答案』：4x＋3y－6＝0

『备课札记』 『类题通法』

充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

考点二 距离问题 『典例』 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.

解：设点P的坐标为(a，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)． 而AB的斜率kAB＝

－3＋1

＝－1， 4－2

∴线段AB的垂直平分线方程为 y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0.

∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上， ∴a－b－5＝0.

①

又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2， ∴

|4a＋3b－2|

＝2， 5

②

即4a＋3b－2＝±10，

a＝1，

由①②联立可得

b＝－4，

a＝7，

或8

b＝－7.

27

4

278，－. ∴所求点P的坐标为(1，－4)或77

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『备课札记』 『类题通法』

1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．

『针对训练』

与直线7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是__________________． 『解析』：设所求直线方程为7x＋24y＋m＝0， 由3＝

|m＋5|，

72＋242

∴m＝70或－80.

『答案』：7x＋4y－80＝0或7x＋24y＋70＝0

考点三

对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有：

1点关于点的对称； 2点关于线对称； 3线关于线对称； 4对称问题的应用.

角度一 点关于点的对称

1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

解：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 角度二 点关于线对称

2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标． 解：设A′(x，y)，

5

对称问题 高三数学一轮复习教案

y＋22x＋1×3＝－1，

再由已知得x－1y－2

2×－3×＋1＝0，22



解得4

y＝13，

33x＝－，

13

334－，. 故A′1313角度三 线关于线对称

3．在『角度二』的条件下，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． 解：在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)，则 a＋2b＋02×－3×22＋1＝0，b－02a－2×3＝－1，630得M′13，13.

2x－3y＋1＝0，设直线m与直线l的交点为N，则由

3x－2y－6＝0，

得N(4,3)．

又∵m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 角度四 对称问题的应用

4．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．

解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.

y－6x－1

故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.

6＋41＋2

『备课札记』

6

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『类题通法』

处理对称问题的方法

(1)中心对称

①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足

x′＝2a－x， y′＝2b－y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称

①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有



a＋mb＋nA·2＋B·2＋C＝0.

n－bA

×－＝－1，m－aB

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

『课堂练通考点』

1．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.

1a6

『解析』：由题意知，l1∥l2⇔＝≠，

a－232a即a＝－1. 『答案』：－1

2．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝________. 『解析』：由a×1＋(a－1)×2＝0 2∴a＝.

32

『答案』：

3

3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________． 『解析』：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．

又直线x－2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的y－0x－3两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.

1－01－3

『答案』：x＋2y－3＝0

7

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4. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________． 『解析』：由题意得，点P到直线的距离为 |4×4－3×a－1||15－3a|

＝.

55又

|15－3a|

≤3，即|15－3a|≤15， 5

解之得，0≤a≤10， 所以a∈『0,10』． 『答案』：『0,10』

5．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．

(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0， 即a2－a－b＝0. 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0 由①②得a＝2，b＝2.

aa(2)∵l1∥l2，∴＝1－a，b＝，

b1－a故l1和l2的方程可分别表示为： 4

(a－1)x＋y＋a－1

＝0， a

② ①

a

(a－1)x＋y＋＝0，

1－a又原点到l1与l2的距离相等． ∴4

a－1aa＝1－a，

2

∴a＝2或a＝，

3

2

∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

3

8