第4讲 椭 圆

一、选择题

1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.C.

x281

＋＋

y272

＝1 B.＝1 D.

x281

＋＝1 9＋y2

x281

y245

x281

y236

＝1

1

解析 依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，

3∴b＝a－c＝81－9＝72，∴椭圆方程为答案 A

x2y2

2．椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )． 1A.4

5B.5

1

C.2

D.5－2

2

2

2

x281

＋y272

＝1.

解析 因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.

又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， 所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2. c5

所以离心率e＝a＝5，故选B. 答案 B

1

3．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈2，1，则实数m的取值范围是 ( )．

3

0，A. 4

4

B.3，＋∞ 43

D.4，1∪1，3 

34

C.0，4∪3，＋∞ 

2y11422

解析 椭圆标准方程为x＋1＝1.当m>1时，e＝1－m∈4，1，解得m>3；



m

1m－1312

当0

m34是0，4∪3，＋∞. 答案 C

4．设F1、F2分别是椭圆＋y＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一

4点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为( )．

826

A．1 B. C．22 D. 33

解析 由题意知，点P即为圆x＋y＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，

4

2

2

x2

2

x2

解方程组x4＋y＝1，

2

2

x2＋y2＝3，

得点P的横坐标为26

. 3

答案 D

x2y2

5．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FABab是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( ) A.C.

3－15－1

B. 221＋53＋1

D. 44

解析 根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解－1±55－1得e＝，故所求的椭圆的离心率为.

22答案 B

x2y23

6．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2.双曲线x2－y2＝1的渐近线与

椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为

( )．

x2y2

A.8＋2＝1 x2y2

B.12＋6＝1 x2y2

D.20＋5＝1

x2y2

C.16＋4＝1

3c333

解析 因为椭圆的离心率为2，所以e＝a＝2，c2＝4a2，c2＝4a2＝a2－b2，12x222

所以b＝4a，即a＝4b.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得a2＋2

x2x2x25x224222422＝1，即＋＝＝1，所以x＝b，x＝±b，y＝b，y＝±b，则b24b2b24b2555522

b，b，所以四边形在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为

5522162x2y22

的面积为4×b×b＝5b＝16，所以b＝5，所以椭圆方程为20＋5＝1.

55答案 D 二、填空题

7．设F1、F2分别是椭圆

x225

＋y216

＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的

中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．

1

解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.

2答案 4

x2y2

8．在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：a＋a＝1的离

65

心率为________．

解析 由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝3

4. 3

答案 4 16－13

＝4

x2y29. 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴123上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍．

解析 不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±

33），即|PF2|=，22|PF1|=答案 7

147，因此|PF1|=7|PF2|. 2π

10.如图，∠OFB＝6，△ABF的面积为2－3，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．

x2y2

解析 设标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 由题可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a， πb3

∵∠OFB＝6，∴c＝3，a＝2b. 11

S△ABF＝2·|AF|·|BO|＝2(a－c)·b 1

＝2(2b－3b)b＝2－3，

x2y2

∴b＝2，∴b＝2，∴a＝22，∴椭圆的方程为8＋2＝1.

2

x2y2

答案 8＋2＝1 三、解答题

11．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD4

上一点，且|MD|＝|PD|.

5

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

5解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

x＝x，

由已知得5

y＝y，4

PP

5

∵P在圆上，∴x2＋y2＝25，

4即C的方程为

x225

＋

y216

＝1.

44

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

55设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得

5

x225

＋

x－25

2

＝1，

即x2－3x－8＝0. ∴x1＝

3－413＋41

，x2＝. 22

∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝ 16

1＋25

x1－x2

2

＋y1－y2

2

x1－x2

2

4141×41＝. 255

x2y2

12．设F1，F2分别为椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23. (1)求椭圆C的焦距；

→＝2F→(2)如果AF22B，求椭圆C的方程．

解 (1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c＝23，故

c＝2.

所以椭圆C的焦距为4.

→＝2F→

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF，知y1<0，y2>0， 22B及l的倾斜角为60°直线l的方程为y＝3(x－2)． y＝3x－2，

由x2y2

2＋2＝1ab

消去x，

整理得(3a2＋b2)y2＋43b2y－3b4＝0. －3b22＋2a－3b22－2a解得y1＝，y2＝.

3a2＋b23a2＋b2→＝2F→

因为AF22B，所以－y1＝2y2，

3b22＋2a－3b22－2a即＝2·，解得a＝3.

3a2＋b23a2＋b2而a2－b2＝4，所以b2＝5.

x2y2

故椭圆C的方程为9＋5＝1. 13． 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2y23

2＋2＝1(a>b>0)的离心率为ab2，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切． (1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上． (1)解 由题意知，b＝

2

＝2. 2

c11－a2＝2. 

c3b

因为离心率e＝a＝2，所以a＝ 所以a＝22.

x2y2

所以椭圆C的方程为8＋2＝1.

(2)证明 由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，

y0－1

则直线PM的方程为y＝xx＋1，

0y0－2

直线QN的方程为y＝x＋2.

－x0

① ②

3y0－4x0

法一 联立①②解得x＝，y＝，

2y0－32y0－33y0－4x2x0y2002

，.由＋＝1，可得x2即T0＝8－4y0.

2y0－32y0－382

22

1x0213y0－42x0＋43y0－4

＝因为82y－3＋2

82y0－3202y0－3

22

8－4y232y20＋43y0－40－96y0＋7282y0－3＝＝＝＝1，

82y0－3282y0－3282y0－32所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 法二 设T(x，y)，联立①②解得x0＝

3y－4x

，y0＝. 2y－32y－3

2

x21x213y－420y0

＝1. 因为8＋2＝1，所以82y－3＋22y－3

x23y－4

整理得8＋2＝(2y－3)2，

x29y2x2y22

所以8＋2－12y＋8＝4y－12y＋9，即8＋2＝1. 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 14．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程；

(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程． x2

解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为a2y2

＋b2＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)． 因△AB1B2是直角三角形，

2

又|AB1|＝|AB2|， 故∠B1AB2为直角， c

因此|OA|＝|OB2|，得b＝2. 结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，

c2

故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝a＝55. 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，

1c

故S△AB1B2＝2·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝2·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得x2y2

b＝4，从而a＝5b＝20.因此所求椭圆的标准方程为：20＋4＝1.

2

2

2

(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根， 4m16

因此y1＋y2＝2，y·y＝－2，

m＋512m＋5→→

又B2P＝(x1－2，y1)，B2Q＝(x2－2，y2)， →→所以BB2P·2Q＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2

＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 16m2＋116m216m2－64＝－－2＋16＝－2，

m2＋5m＋5m＋5→→由PB2⊥QB2，得BB2P·2Q＝0， 即16m2－64＝0，解得m＝±2.

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.