二次函数的图像与性质(教案)

东厦中学 陈舒雄

教学目标：

一. 知识与技能：

1. 通过对二次函数性质的复习，使学生懂得从图像中获取有关的性质信息。 2. 使学生会通过图像求二次函数的解析式。

二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。

三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。 教学重点：如何在图像中获取有用的信息。

教学难点：如何建立一个恰当的直角坐标系来解应用题。 教学过程：

一. 引入：二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，题型多以选择题、填

空题、解答题为主，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图像与性质有关，故我们今天主要通过对以下三个方面的复习，使大家掌握通过二次函数图像与性质来解决一系列的问题。

二. 复习讲解：

（一）抛物线yax2bxca0的性质： a、b、c的代数式 a 作用 1. a的正负决定抛物线的开口方向； 2. a决定抛物线开口大小 决定对称轴的位置，对称轴b为直线x 2aa0 a0 说明 开口向上 开口向下 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴 a、b同号 b=0 a、b异号 c0 c0 c0 b 对称轴在y轴右侧 交点在y轴的正半轴 确定抛物线与y轴交点的位c 交点是原点 置，交点坐标（0，c） 交点在y轴的负半轴 抛物线与x轴有2个交点 b24ac0 决定抛物线与x轴交点个数 b24ac0 b24ac 抛物线与x轴有1个交点 抛物线与x轴有0个交点 b24ac0 4acb2a0时，顶点纵坐标是二次函数的4ab4acb2最小值。 , 决定顶点位置 4a4acb22aa0时，顶点纵坐标是二次函数的4a最大值。 当y0时，即ax2bxc0，则抛物线与x的交点坐标为决定抛物线与x轴交点的横轴bb24ac bb24acbb24ac坐标 2a,0,,0 2a2a

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【练习】完成练习一

【总结】灵活运用二次函数中a、b、c、b24ac的性质在图像中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图像要比较熟悉，并能在图像中从这些性质来思考解决问题的思路。

（二）二次函数图像的平移、增减性及对称性：

1. 二次函数图像的平移：（通过实例讲解平移的方法） 2. 二次函数的增减性：

bb①如图1，当a0时，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增

2a2a大而减小。

bb②如图2，当a0时，当x时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增

2a2a大而增大。

3. 二次函数的对称性：二次函数的图像是一个关于对称轴

bx对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标

2axxb相同，即x1,y,x2,y时，12。

22a【练习】练习：完成练习二 （三）二次函数解析式的求法：

1. 若已知抛物线上三点坐标，则可设表达式为 yax2bxca0，然后组成三元一次方程组来解。

2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程或最大（小）值，可设表达式为

yaxh0，其中顶点的坐标为ka2h,k，对称轴为直线xh。

3. 一些常见二次函数图像的解析式

① 如图1：若抛物线的顶点是原点，设

yax2a0 ；

② 如图2：若抛物线过原点，设yax2ca0； ③ 如图3：若抛物线的顶点在y轴上，设

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yax2bxa0；

④ 如图4：若抛物线经过y轴上一点0,3，设yax2bx3a0； ⑤ 如图5：若抛物线知道顶点坐标h,k，设yaxhka0。

例1：如图，直线yxm和抛物线yx2bxc都经过点A(1，0)，B(3，2)．

⑴求m的值和抛物线的解析式；

⑵求不等式x2bxcxm的解集(直接写出答案)． 解：（1）∵直线y=x+m经过点A(1,0)

∴0=1+m

∴m=－1．即m的值为－1

∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0),B(3,2)．

B2y01bc，∴ 293bc.b3解得

c2∴二次函数的解析式为y=x23x2． （2）x＞3或x＜1． 【练习】练习:完成练习三：

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OAx例2：2009年汕头市高中阶段招生考试首次将体育科计入总分，考查掷实心球、立定跳远或

一分钟跳绳。男同学小明在一次实心球模拟测试中，已知小明同学球出手时侯的高度为2米，整个球运动的路线是一条抛物线，并在在距小明同学4米时达到最高点3.6米（如图所示）；

（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；

（2）根据教育局规定：9.32米得分为90分，以后每增加0.15米可增加1分，增加幅度不足0.15米不加分。则小明在这次测试中，小明能得多少分？

【练习】练习：完成练习四： 三. 课堂小结：

1. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质。 2. 抛物线的增减性。 3. 抛物线的平移。 4. 抛物线的对称性。 5. 抛物线解析式的求法。

6. 如何建立恰当的坐标系来解决实际问题。 四. 作业：完成课后练习。

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