２０１０全国计算机网络与通信学术会议 基于Ｆ ｉ ｂｏｎａｃｃ ｉ编码的英文文本压缩算法 邹建成石志鑫 （北方工业大学信息工程学院，北京市，１００１４４） 摘要：本文在Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的基础上引入了２阶Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码，并成功的将其 应用到英文文本压缩。利用这种变长的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码可以用较少的位数来表示出 现频率高的字符，从而达到数据压缩的目的。实验表明，基于Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码的英 文文本压缩算法具有较好的压缩率，并且，文本越长，字符出现频率越高，压缩率 也越高。 中图分类号： 文献标识码：Ａ 文章编号： Ｅｎｇｌｉｓｈ Ｔｅｘｔ Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ Ｃｏｄｅｓ ＺＯＵ Ｊｉａｎ－－ｃｈｅｎｇ ＳＨＩ Ｚｈｉ－・ｘｉｎ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＩｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ＆Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ｏｆＮｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １ ００１４４，Ｃｈｉｎａ．ＺＯＵ Ｊｉａｎ－ｃｈｅｎｇ，ｚｊｃ＠ｎｃｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｅｒｓ ｉｎ ａ ｂｉｎａｒｙ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｎｕｍｅｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ， ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ Ｃｏｄｅｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ２，ａｎｄ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｔ ｉｎ Ｅｎｇｌｉｓｈ ｔｅｘｔ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ． Ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ—ｌｅｎｇｔｈ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｃｏｄｅｓ ｃａｎ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｈｉｇｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｗｏｒｄｓ ｗｉｔｈ ｌｅｓｓ ｂｉｔｓ，ｔｈａｔ ｍｅａｎｓ ｔｈｅ ｔｅｘｔ ｗａｓ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｔｈａｔ，ｔｈｅ Ｅｎｇｌｉｓｈ ｔｅｘｔ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｃｏｄｅｓ ｈａｖｅ ｂｅｔｔｅｒ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｒａｔｅ．Ｗｈａｔ’Ｓ ｍｏｒｅ，ｔｈｅ ｌｏｎｇｅｒ ｔｈｅ ｔｅｘｔ，ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｔｈｅ ｗｏｒｄｓ，ａｎｄ ｔｈｅ ｂｅｔｔｅｒ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｒａｔｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｃｏｄｅｓ；Ｔｅｘｔ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ １引言 文本压缩是数据压缩的一个分支，属于无损压缩。它的目标是通过对数据施加某种操作 或变换使之长度变短的同时，还必须保证原始数据能够从压缩产生的压缩码中得以精确的 还原。在５０年代初提出的以具有前缀性质的变长码为特征的Ｈｕｆｆｍａｎ编码是数据压缩领域 的一个重要里程碑，曾经统治数据压缩领域达３０年之久，至今研究它的文章仍旧源源不 断。这种编码技术长期以来一直被许多工程技术人员视为最佳的编码方法。 本文基于Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ对整数的编码体制，结合Ｈｕｆｆｍａｎ编码体系，研究了一种新的文本 压缩算法。论文简单的介绍了Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列以及整数的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ表示，并且详细说明了 基于Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码的文本压缩和解压的算法。最后，通过实验对本算法进行了分析和验证。 ２ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列简介 ２．１ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列 意大利数学家列昂纳多・斐波那契（Ｌｅｏｎａｒｄｏ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ，１１７０—１２４０）１２０２年撰写《算 １４３ ２０１０全国计算机网络与通信学术会议 经》（Ｌｉｂｅｒ Ａｂａｃｉ）一书，以兔子繁殖为例子而引入了著名的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列，故Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ 数列又称为“兔子数列”。 在数学上，Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列是以递推关系来定义的，满足： ｛ｆ Ｆ＝０＇Ｏ－＝ 【 ＝ 一 ＋ 一２ （ｎ＝２，３…） 的数列｛ ）为Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列，其中任意一个数 称为Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数。法国数学家比内特 （Ｂｉｎｅｔ）证明了其通项公式可表示为： ＝去ｆ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列是一个二阶线性递归数列。它是由０和１开始，之后的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数就 由前的两数相加。首几个Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数是０，１，ｌ，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４…… 这个数列我们要注意的是：Ｏ不是数列的第一项，而是第零项。 Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列有很多有用的性质。其中最奇妙的是苏格兰人Ｒｏｂｅｒｔ Ｓｉｍｓｏｎ证明了当 项数趋于无穷时，Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的后项与前项之比趋近黄金分割，也就是 １．６１８０３３９８８７５…。这也许说明了Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列与黄金分割有天然的联系。自然界中的 Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列最典型的例子就是以Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ螺旋方式排列的花序或树叶，如树叶沿枝条 排列的形状、向曰葵籽盘上相互交叉的奇特螺线、花瓣的数目等。每层树枝的数目也往往构 成Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列。其他有关Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的性质可以参考文献［１］《斐波那契》一文中 给出的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的几个性质。 ２。２整数的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ表示 基于Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数，文献［２］中介绍了ｍ阶Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的表示方法： ＝ ＋ ＋…＋ ，ｎ＝２，３… 其中： ｌ＝ ２＝…＝ ’＝０， ＝Ｆｏ＇ ＝１。在这里，２阶Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数就是通常 我们所说的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列：１，２，３，５，８…。在文中还说明了任何一个非负的整数Ｎ能够被唯 一的表示成二进制形式 …ｄｋ一 ｄｋ，ｄｉ∈｛ｏ，１｝与之对应，即 ｋ Ⅳ＝∑ ，（ｄｉ∈｛ｏ，１｝，ｏ ｆ 尼） ｉ＝０ 当且仅当ｄｆｌ２…ｄａ＿ｌｄ 中不包含ｍ个连续的１［３］。表１列出了一些整数Ｎ的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ表示： １４４ ２０１０全国计算机网络与通信学术会议 表１：整数Ｎ的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ表示 ／，１－ ｌ ２ ３ １ ０ １ ０ ０ １ ４ ５ ６ １ ０ ｌ ０ ０ ０ １ １ Ｏ ０ １ ７ ８ ０ １ ０ １ ０ ０ ０ ０ ｌ １６ ０ ０ １ ０ ０ １ ３２ ０ ０ １ ０ １ ０ １ １ ２ ３ ５ ８ ｌ３ ２１ 在这个基础上，Ａｐｏｓｔｏｌｉｃｏ ａｎｄ Ｆｒａｅｎｋｅｌ于１９８５年定义了一种Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码方 案［４］。即，在整数的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ表示的基础上，每个整数多加一位１，这样，就构成了整 数的２阶Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码，表一中的整数可以分别编码为如下： 表２：整数Ｎ的２阶Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码 Ⅳ １ ２ ３ ｌ ０ ０ １ １ ０ ｌ １ １ ４ ５ ６ １ ０ １ ０ ０ Ｏ ０ １ ０ １ Ｏ ０ ０ ０ １ １ １ １ ０ ｌ ｌ １ ｌ １ ８ ０ ｌ６ ３２ ０ ０ ０ ０ １ １ ０ ０ ０ １ １ ０ ｌ １ １ ｝） ｌ ２ ３ ５ ８ １３ ２１ ３４ ２阶Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码中每个数Ｎ的编码连续出现１的个数不超过２个。用同样的方法， 我们可以得到ｍ阶Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码，其中，每个数Ｎ的编码连续出现１的个数不超过Ｉｌ１个。 显然通过这种方式构成的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码是一种变长编码，它便于字符的异步传输，并且能 提高字符传输的正确率。更重要的是，相对于二进制的整数编码方案，Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码可以 用比较少的位来表示前面几个数，用更多的位来表示大于３４的数，因为３４的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ 编码为０００００００１１，共９位。在用较少的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码位来表示前面几个数的这个性质， 我们尝试了把Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码应用到文本压缩上； ３ Ｆ ｉ ｂｏｎａｃｃ ｉ的文本压缩 Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码可以用比较少的位来表示前面几个数，所以，Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码可以应用 到文本压缩当中，这里我们已经成功的把Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ应用于英文文本压缩的编码算法，下面 介绍压缩解压算法的主要过程。 ３．１压缩算法 ｌ、打开需要压缩的英文文本文件ｃｏｄｅ．ｔｘｔ，统计文件中不同字符出现的个数，设为Ｎ： ２、对于每个字符４ ０＜ ＜Ｎ，统计其在文件中出现的频率 ｆ１，０＜ ＜Ｎ； ３、排序频率数组 使得 １］＞ ２】＞…＞ Ⅳ】，对应的字符为４１］＞ ２】＞…＞４Ⅳ】； ４、分别对排序后的字符序号 进行Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码，即文本中每一个字符 １４５ ２０１０全国计算机网络与通信学术会议 ４ｆ１＝（ｆ），，０＜ｆ＜Ⅳ，其中（ｆ），表示ｆ的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码，这样构成了…个字符的 Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码表Ｆ。根据Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码的性质，频率越大的字符，编码后的位数越少， 压缩率越高；反之，频率越大的字符，编码后的位数就越多，压缩率越低； ５、首先写入字符的个数Ｎ，每个排序后的字符４ 然后重新扫描整个文本，对于每个 字符，查找字符的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码表Ｆ，写入字符的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码，即形成压缩文件 ｄｅｃｏｄｅ．ｆｉｂ。 ３．２解压缩算法 解码的过程与编码正好相反： １、打开压缩文件ｄｅｃｏｄｅ．ｆｉｂ； ２、读取文件开始的字符个数Ｎ； ３、通过Ｎ，读取Ｎ个字符，利用其先后顺序建立字符频率索引表建立字符的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ 编码表Ｆ； ４、读取文件中的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码，并转化为整数表示，这个整数即为字符的频率序号； ５、利用频率序号的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码表Ｆ，解码出其所对应的字符； ６、循环４、５，直到文件读取结束，即可以解码出文件ｃｏｄｅ．ｔｘｔ。 ４实验分析 我们通过在Ｗｉｎｄｏｗｓ平台下，用ｒｅ＋＋６．０进行实验表明，Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ应用于英文文本压 缩是完全可行的，下图１中的实验文本压缩了２０％多，因为文件比较小，所以压缩率相对低， 如果文件越大，则字母出现的频率越高，压缩率就会越大，并且，这种压缩是完全的无损压 缩方法。图２中也表明了压缩的过程为无损压缩。在图３中我们截取了文本经过Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ 编码后的部分Ｏ１码，也就是压缩后的编码内容。 ｌ；曼旦 量 璺ｌ ｌ硼一 — 一～ 量ｌ— 一～一～一——～—————一 一一＿＿——一 ｌ＿一＿＿二 ＿＿ — 二二＿＿ ～ 二 一一一一 — ：曼善 ・ｌｕ＿一一一一 一一二 一 ＿－ 一 童 ｌ －一 Ｆｉｂ｝ｌｉｌ（缩衍的文髂 行为：Ｆ：＼Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｃｏｄｅ＼ＦｉｂＴｅｘｔＥｌ１ｅｏ（Ｉｅ＼Ｆｉｂｃｏｄｅ．Ｆｉｂ ｉ缩阿文件犬小为：１６９３个７节 胍缩衍文件火小为：１３４６个 节 缩比为：０．７９５０３８ 图１ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码应用于文本压缩 麟翻融嘲霭强戤圈疆蟹璺 荽鲞蛹墨啊—啊圈嘲嘲圈啊＿嘲一■■疆ｉＩｌ－ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｂｅｑｉｎｎｉｎｑ ｏＦ ｔｈｅ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ，ａｎ ｉｎＦｉｎｉｔｅ ｓｔｒｉｎｑ ｏＦ ｎｕｍｂｅｒｓ ： ｎａｍｅｄ ａＦｔｅｒ．ｂｕｔ ｎｏｔ ｉｎｖｅｎｔｅｄ ｂＱ．ｔｈｅ Ｉｔａｌｌａｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ．ｉｔ ｍａＱ ｓｅｅｍ １ｉｋｅ ａ ｐＩｉｅｃｅ ｏｆ ｍａｔｈｅｎａｔｉｃａｌ ａｒｃａｎｉａ．ｂｕｔ ｔｈｅ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｉｓ Ｆｏｕｎｄ ｔｏ ａｐｐｅａｒ。ｔｉｍｅ ａｎｄ ｔｉｍｅ ａｇａｉｎ。ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｗｏｒｌｄ ａｎｄ ｅｖｅｎ ｉｎ： ｔｈｅ Ｐｒｏｄｕｃｔｓ ＯＦ ｈｕｍａｎ ｃＵＩｔｕｒｅ．ｆｒｏｎ ｔｈｅ Ｐａｒｔｈｅｎｏｎ ｔｏ ｐｉｎｅ ｃｏｎｅｓ．ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｅｔａｌｓ 一 ＿ …一ｒ１＿－．一一ｌ一… 一｛一‘：一一一 －ｒ●一…一． Ｊ－ ●●ｊ一．ｊ Ｌ— ｆ Ｌ－一－．－ 一一一．．…一 一一＿一一 ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｉｂｏｎａｃｃｔ ｓｅ口ｕｅｎｃｅ。ａｎ ｉｎＦｔｎｉｔｅ ｓｔｒｉｎｇ ｏｆ ｎｕｍｂｅｒｓ ｎａｍｅｄ ａＦｔｅｒ，ｂｕｔ ｎｏｔ ｉｎｕｅｎｔｅｄ ｂＱ，ｔｈｅ ｉｔａｌｉａｎ ｍａｔｈｅ￣ｔｉｃｉａｎ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ．ｉｔ ｍａＵ ｓｅｅｍ ｌｉｋｅ ａ ｐｉｅｃｅ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ１ ａｒｃａｎｉａ。ｂｕｔ ｔｈｅ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｉｓ Ｆｏｕｎｄ ｔｏ ａｐｐｅａｒ。ｔｉｍｅ ａｎｄ ｔｉｍｅ ａｇａｉｎ。ａｍｏｎｑ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏＦ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｗｏｒｌｄ ａｎｄ ｅｖｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ Ｏｆ ｈｕｍａｎ ｃｕｌｔｕｒｅ．Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐａｒｔｈｅｎｏｎ ｔｏ ｐｉｎｅ ｃｏｎｅｓ。Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｅｔａｌｓ ｏｎ ａ ｓｕｎｆｌｏｗｅｒ ｔ０ ｔｈｅ ｐａｉｎｔｉｎｑｓ ｏｆ ｌｅｏｎａｒｄｏ ｄａ ｕｉｎｃｉ。ｔｈｅ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｓｅｅｍｓ 图２ Ｆｊｂｏｎａｃｃｉ的无损文本压缩 １４６ ２０１０全国计算机网络与通信学术会议 ００１１ ００Ｂ１ ０１１日１ ００１１１ ０１ ０１１１１ ６１ ０００１１ ６０１ ００１１１ Ｏ００ １１１日１１６１００００１１１０００００１１０Ⅱ１０１１１００００１１０００４１１日Ｂ １１１ ０１ ００１１ ００１ ０００＂１１ Ｏ０００１１ ０１ ０１１ ０１１ ０００００１１ ０００００ ０１１ ６１ ０１ ０１１１ ６１ ０００１１１ ００１ ０４１ ０００４ ００１１１ ００１ ００１１ ０１ ０１ ００１１ ００００１ ０１１ ６１１１ ０００１１１ ０１１ ６１ ０１１１ ００１ ００１１１ ０１ １ ０１ Ｂ１１１ ００４ ００１１ ０１１１ ０００１１１１１ ００１ ００１１ ００６１ ０１１１１ ０ ０１ ００１１１ ０１１ ０００１１ ０００１１１ ６１１ ６００４１ ００４ ００１１１ ００１ ００４ １１ ００１１ ６１ ０００１１１ ００１ ００１１ Ｂ１１１ ０００１１１１１ ００１ ００１１口１口 ００４１１口１１口０们０１１１００４１口口叭１Ｂ０１１日１００１１６１００１１１０ １１１００１００１１盯０１１１１目口１日ｎＤ１１０目０８重ｒｔ１１１０００１１０１０日 １１１１Ｂ１０１００４１１００４００１１日ｎ１１６０ｎ１１１ ００４００１１１０１１０ｎ ０１１口１０００１１１日１１９００１１１０４１０１１１１１００１００４１０１０１１０４ １６０００４１１０１１０００１１００４００１１１００１００１１１００１１０１Ｂ０ｑ１１ １ ００１ ０ｎ１１ ００９１１ ０００６０１１１日０日ｎ１１ ０００４ ４１１１ ０００００４１ ０ １ ０１１１ ００１ ００４１ ０００１１ ００４１１ ００００１１１１１ ０１ ０１１１ ００１ ００４ １ ００１１０１０００１１０１１１１００００１１０１０１００４１１００１００１１０００１ 口１１０００００１１口１１１００１００１１０００４１１００４１０４１１００１００４１１ ０１１ ０００１１ ０００６００１１１１ ０００１１ ０１１１１１ ｎ１ ０１１１ ００１ ００４１ ０ ００１６１１１００４日１１日１ｎ１０ｎ１１１００１００１１０１１１００ｎ１１１１１０日 １０ｎ１１ｎ１１１０ａ０１１１００１００１１０１００１１１１ ０００４１６１１０Ｏ００Ｏ １１ ００００１１１ ００１ ０１１１ ００１ ００１１１ ０１１ ６１１ ００１１ ００１ ０１１１ ０１ １ ００１１ ０００１１１ ００４ ００１１１ ００００１１ ００１１ ０１１１ ０００１１１１１ ０ｎ 图３编码后的部分Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码数据 ５结论 Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码是一种变长编码，它便于字符的异步传输，并且能提高字符传输的正确 率。更重要的是，本算法提出的基于Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码的英文文本压缩，是一种完全无损的压 缩方式，有比较好的压缩率。但是，本算法还只是应用于英文文本的压缩上，以后的工作是 进一步提高压缩率并提出基于Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ编码的中文文本压缩算法。 参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ［１］吴文俊．世界著名数学家传记（上集）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９７：２９８－３０６． ［２］Ａ．Ｓ．Ｆｒａｅｎｋｅ１．“Ｓｖｓｔｅｍｓ ｏｆｎｕｍｅｒａｔｉｏｎ．”Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｉｖ．ｖｏ１．９２，ＰＰ．１０５．１ １４，１９８５． Ｅ３３ Ｅ．Ｚｅｃｋｅｎｄｏｒｆ，Ｒｅｐｒｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｄｅｓ ｎｏｍｂｒｅｓ ｎａｔｕｒｅｌｓ ｐａｒ ｕｎｅ ｓｏｍｍｅ ｄｅｓ ｎｏｍｂｒｅｓ ｄｅ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｏｕ ｄｅ ｎｏｍｂｒｅｓ ｄｅ Ｌｕｃａｓ．Ｂｕｌ１．Ｓｏｃ．Ｒｏｙ．Ｓｃｉ．Ｌｉｇｅ４１，１７９—１８２，１９７２． １４Ｊ Ａ．Ａｐｏｓｔｏｌｉｃｏ ａｎｄ Ａ．Ｆｒａｅｎｋｅ１．Ｒｏｂｕｓｔ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｏｆ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｓｔｒｉｎｇｓ ｕｓｉｎｇ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ３３，２３８．２４５，１ ９８７． 作者简介： 邹建成男（１９６６年生），教授，主要研究方向：数字图象信息安全理论中的信息隐藏和数字水印、计算机 图形学、微分拓扑学中的奇点理论、分歧理论等。 石志鑫男（１９８６年生），硕上研究生，研究方向：信息安全。 １４７