由一道“构造函数”高考题引发的思考

2018年高考虽然过去几个月了，但数学试卷中的一道有关构造函数的试题却一直在我的脑海中萦绕和徘徊，引发了我对构造函数的关注和思考。下面我们就先来看一下这道试题。

一、典型例题

（2018年全国Ⅰ卷第21题）：已知函数f(x)=　-x+alnx。（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：　　　　　＜a-2。

解:（1）f(x)的定义域为（0,+∞），f`(x)=-　-1+　=-　　　　。

（i）若a≤2，则f`(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f`(x)=0，所以f(x)在（0,+∞）单调递减。

（ii）若a＞2，令f`（x）＝0得，x=　　　　　或x=　　　 　。

当x∈（0，　　　　　）∪（　　　　　，+∞）时，f`(x)＜0。

当x∈（　　　　　，　　　　　）时，f`(x)＞0。

所以f(x)在（0，　　　　　），（　　　　　，+∞）单调递减，在（　　　　　，　　　　　）单调递增。

（2）由（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当a＞2。由于f（x）的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1。由于　　　　　=- 　　-1+a　　　　　＝-2+a　　　　　＝-2+a　　　 ，所以　　　　　＜a-2等价于　-x2+2lnx2＜0。设函数g（x）=　-x+2lnx，由（1）知，g（x）在（0,+∞）单调递减，又g（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0。所以　-x2+2lnx2＜0，即　　　　　＜a-2。

此题为今年高考数学的压轴试题，第一问属于常规，第二问难度较大，其关键在于合理构造函数。

二、有关构造函数

构造就是在对问题进行透彻地分析，在对其实质进行深刻了解的基础上，借助逻辑分析或长期积累的知识和经验，发挥想象和创造力，将问题从原来的模式转化为更能反映其本质特征的新模式的一种思维方法。

构造函数问题在高考中常作为压轴试题出现，并且难度较大，命题方式也较为灵活。运用构造思想解题首先要有明确的方向，就是为了什么目的来构造；其次要弄清条件的本质和特点，以便重新进行逻辑组合。

下面我就结合另外一个试题来谈谈自己的看法。

三、变式题目

设a∈R，函数发f（x）=lnx-ax，若函数f（x）有两个相异零点x1，x2，求证x1·x2 ＞e2。

先看解法一：

已知x1，x2，为f（x）两个相互零点，则满足

　　　　　对结论分析，要证x1·x2＞e2。

即证：lnx1x2＞lne2，∴lnx1+lnx2＞2，（1）+（2）可得lnx1+lnx2=a（x1+x2），∴a（x1+x2）＞2，a＞　　　，（1）-（2）得lnx1-lnx2=a（x1-x2），a=　　　　　，则证　　　　　＞　　　，ln　＞　　　　，ln　＞　　　　，不妨设x1＞x2，设t=　＞1，则lnt＞　　　，设g（t）=lnt-　　　，g`（t）=　-　　　　　　 =　　　　　＞0，∴g（t）在（1，+∞）单调递增，g（t）min=g（1）=0，∴g（t）在（1，+∞）上恒大于0，故lnt＞　　　，即得证x1·x2 ＞e2。

由此认为：将多变量转化为单一变量不失为一种构造函数的好方法，巧妙运用导数来进行单调性判断并巧妙化规。

再看解法二：

要证x1·x2＞e2，即lnx1x2＞lne2，

∴lnx1+lnx2＞2，又Q　　　　　，lnx1+lnx2=a（x1+x2），

∴即证x1+x2＞　，

不妨设x1＜x2，

f（x）=lnx-ax，

f`（x）=　-a，

∴a＞0，

在（0,　）内f`（x）＞0，f（x）单调递增。

在（　，+∞）内f`（x）＜0，f（x）单调递减。

∴x=　是极大值点，∴0＜x1＜　，x2＞　，

设F（x）=f（x）-f（　-x），x∈（0,　）

=lnx-ax-ln（　-x）+a(　+x)，

F`（x）=　+　 　-2a=　　　　　　，

设g(x)=2ax2-4x+　，

△=16-4×2a×　＝0，

∴ F`（x）≥0，∴ F（x）在（0，　）单调递增，∴ F（x）max= F（　）=0，∴F（x）＜0，∴f（x）＜f（　-x），∴f（x1）＜f（　-x1），f（x2）= f（x1）＜f（　-x1），∴x2 ＞　-x1，x1+x2＞　，即得证。

由此我认为，利用极值点偏移来解构造函数是一种较为便捷的解题方法。

总而言之，构造函数法作为一种数学思维方法，在解决某些数学问题时，若能充分挖掘题目中潜在的信息，构造与之相关的函数，将陌生问题转化为熟悉问题，可使问题顺利解决。这一方法必将指导我今年的学习和复习备考，大家在学习中也不妨一用。