LL(1)文法条件与FIRST集和FELLOW集的介绍

LL(1)文法是一种自顶向下的解析方法，它要求文法满足一定的条件，以确保解析过程没有歧义。LL(1)文法的三个条件是：

1. 文法没有左递归

2. 任何非终结符的First集之间没有交集

3. 对于任何非终结符，它的所有产生式的First集的并集与该非终结符的Follow集的交集为空。

First集:

First集是指对于文法中的某个非终结符，能够从它推导出的字符串中第一个出现的终结符的集合。如果这个非终结符能够推导出空字符串（ε），那么ε也包含在它的First集中。

Follow集:

Follow集是指对于文法中的某个非终结符，所有可能紧跟在它后面的终结符的集合。如果这个非终结符在某个产生式的末尾，那么它的Follow集中包含结束符号（通常用 # 表示）。

为了更好地理解LL(1)文法的第二和第三个条件，我将通过一个具体的例子来详细说明。

第二个条件：任何非终结符的产生式的First集之间没有交集

    这个条件要求对于同一个非终结符的所有产生式，它们的First集不能有共同的元素。这样在构建预测分析表时，我们可以根据输入符号直接决定使用哪个产生式，而不会产生冲突。

第三个条件：对于任何非终结符，它的所有产生式的First集的并集与该非终结符的Follow集的交集为空

    这个条件要求对于一个非终结符的所有产生式的First集的并集（即所有产生式的First集合并在一起），与该非终结符的Follow集的交集必须是空集。这意味着，如果一个符号既出现在某个非终结符的某个产生式的First集中，又出现在该非终结符的Follow集中，那么在解析时会产生冲突。

让我们通过一个完整的文法例子来说明LL(1)文法的第二个和第三个条件。

文法例子

考虑以下文法：

E -> TE'

E' -> +TE' | ε

T -> FT'

T' -> *FT' | ε

F -> (E) | i

这里，E、T、F 是非终结符，而 +、*、(、)、i 是终结符，ε 表示空字符串。

第一步：计算 First 集

1. First(E)：E 推导出 TE'，所以 First(E) = First(T)。

2. First(E')：E' 推导出 +TE' 或 ε，所以 First(E') = {+, ε}。

3. First(T)：T 推导出 FT'，所以 First(T) = First(F)。

4. First(T')：T' 推导出 FT' 或 ε，所以 First(T') = {, ε}。

5. First(F)：F 推导出 (E) 或 i，所以 First(F) = {(, i}。

第二步：计算 Follow 集

1. Follow(E)：E 是开始符号，所以 Follow(E) = {#}。

2. Follow(E')：E' 在 E -> TE' 中出现，所以 Follow(E) = {#} 并入 Follow(E')。另外，E' 在 E' -> +TE' 中出现，由于 T' 可以推导出 ε，Follow(T) 也并入 Follow(E')。因此，Follow(E') = {#, )}。

3. Follow(T)：T 在 E -> TE' 中出现，由于 E' 可以推导出 ε，Follow(E) 并入 Follow(T)。T 还在 T -> FT' 中出现，由于 T' 可以推导出 ε，Follow(T) 并入 Follow(T)。因此，Follow(T) = {+, #, )}。

4. Follow(T')：T' 在 T -> FT' 中出现，由于 F 不能推导出 ε，所以只有 First(F) 中的元素并入 Follow(T')。另外，T' 在 T' -> FT' 中出现，由于 T' 可以推导出 ε，Follow(T) 并入 Follow(T')。因此，Follow(T') = {, +, #, )}。

5. Follow(F)：F 在 T -> FT' 中出现，由于 T' 可以推导出 ε，Follow(T) 并入 Follow(F)。另外，F 在 F -> (E) 中出现，由于 E' 可以推导出 ε，Follow(E) 并入 Follow(F)。因此，Follow(F) = {*, +, #, )}。

第三步：检查 LL(1) 文法条件

1. 检查 First 集的交集：

对于 E，First(E) = First(T) = {(, i}，没有交集。

对于 E'，First(E') = {+, ε}，没有交集。

对于 T，First(T) = First(F) = {(, i}，没有交集。

对于 T'，First(T') = {*, ε}，没有交集。

对于 F，First(F) = {(, i}，没有交集。

2. 检查 First 集的并集与 Follow 集的交集：

对于 E，First(E) ∪ First(E') = {+, (, i, ε}，与 Follow(E) = {#} 没有交集。

对于 T，First(T) ∪ First(T') = {*, (, i, ε}，与 Follow(T) = {+, #, )} 没有交集。

对于 F，First(F) = {(, i}，与 Follow(F) = {*, +, #, )} 没有交集。

由于所有的 First 集之间没有交集，并且 First 集的并集与对应的 Follow 集没有交集，这个文法满足LL(1)文法的条件。

通过这个例子，我们可以看到如何计算 First 集和 Follow 集，并且如何检查文法是否满足LL(1)文法的条件。